师：我们知道归纳推理的前提和结论之间的联系是偶然的，结论不一定正确；类比推理的结果具有猜测性，也不一定可靠，同样结论不一定正确。结论的正确性需要证明。以前我们积累了不少证明数学问题的经验，但这些经验比较零散、不系统。这节课，我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识。
首先看例一，求证：(\pi)是函数(f(x)=\sin(2x + \frac{\pi}{4}))的一个周期。证明(\pi)是函数(f(x))的一个周期，我们会想到周期函数的定义：对于任意(x)，均存在常数(t)，使得(f(x + t)=f(x))，则称(t)为(f(x))的一个周期。那么要证(\pi)是函数(f(x)=\sin(2x + \frac{\pi}{4}))的一个周期，只需证(f(x + \pi))是否等于(f(x))。
(f(x + \pi)=\sin(2x + 2\pi + \frac{\pi}{4}))，根据诱导公式可知(\sin(2x + 2\pi + \frac{\pi}{4})=\sin(2x + \frac{\pi}{4}) = f(x))。所以由周期函数的定义可知，(\pi)是函数(f(x)=\sin(2x + \frac{\pi}{4}))的一个周期。请问本题的证明形式是怎样的？前面是因，下面是果，因为所以，由因到果。
再看例二，已知(x_1)和(x_2)是方程(ax^2 + bx + c = 0)（(a\neq0)）的两根，这就是我们平时所说的韦达定理。要证明(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a})，(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a})，我们可以利用求根公式求出(x_1)和(x_2)。即由求根公式可得(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})，(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a})。所以(x_1 + x_2)，通过运算得到(-\frac{b}{a})，(x_1 \cdot x_2)就等于(\frac{c}{a})。那么这个题的证明形式又是怎样的呢？
我们发现由求根公式得(x_1)、(x_2)，因为……所以(x_1 + x_2)，(x_1 \cdot x_2)是果，同样也是由因到果。
那这两个例题的证明形式有什么共同特点呢？可以发现都是从本题的条件、已知的公式、已知的定义出发，通过计算化简，最后得到本题的结论，也就是我们说的由因导果。通过上述证明，我们可以看出它们是从命题的已知条件出发，以定义、公理、定理及运算法则为依据，通过演绎推理，一步一步地接近要证明的结论，直到完成命题的证明。我们把这种思维方法称之为综合法。
那么综合法是怎样的思维方法呢？思维过程是什么样的呢？从条件到结论，由条件(p)怎样到结论(q)？就是由定义、定理、公式及运算法则进行逻辑推理，然后到达我们要的结论。其证明过程可以表示为：由条件(p)得到结论(Q_1)，由(Q_1)得到结论(Q_2)，得到(Q_3)，最终到达我们要证明的结论(q)。其证明过程都是由因导果的形式。
了解了综合法的定义，下面看看如何利用综合法来证明结论。
看例三，在(\triangle ABC)中，(a)、(b)、(c)分别为内角(A)、(B)、(C)的对边，且(2a\sin A = (2b - c)\sin B + (2c - b)\sin C)。求证：(A = 60^{\circ})；若(\sin B + \sin C = \sqrt{3})，证明(\triangle ABC)为等边三角形。给大家两分钟时间思考。
一起来看，题目中给出的式子既有边长又有角度，根据正弦定理(\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R)（(R)为外接圆半径），可以把(\sin A)写成(\frac{a}{2R})，(\sin B)写成(\frac{b}{2R})，(\sin C)写成(\frac{c}{2R})。由此可得(2a^2 = (2b - c)b + (2c - b)c)，整理可得(2a^2 = 2b^2 - bc + 2c^2 - bc)，即(a^2 = b^2 + c^2 - bc)。
根据余弦定理(\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc})，将(a^2 = b^2 + c^2 - bc)代入可得(\cos A = \frac{bc}{2bc} = \frac{1}{2})。又因为(A \in (0, \pi))，所以(A = 60^{\circ})，第一问证明完成。
第二问，已知(\sin B + \sin C = \sqrt{3})，要证明(\triangle ABC)为等边三角形。由第一问知(A = 60^{\circ})，在(\triangle ABC)中(A + B + C = 180^{\circ})，所以(B + C = 120^{\circ})，则(C = 120^{\circ} - B)。
将(C = 120^{\circ} - B)代入(\sin B + \sin C = \sqrt{3})可得：(\sin B + \sin(120^{\circ} - B) = \sqrt{3})。利用公式展开得(\sin B + \sin120^{\circ}\cos B - \cos120^{\circ}\sin B = \sqrt{3})，(\cos120^{\circ} = -\frac{1}{2})，进一步得到(\frac{3}{2}\sin B + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos B = \sqrt{3})。提取(\sqrt{3})得(\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin B + \frac{1}{2}\cos B) = \sqrt{3})，两边约掉(\sqrt{3})得(\sin(B + 30^{\circ}) = 1)。