师：同学们，大家好，本节课是北京师范大学出版社高中数学选修1 - 2第三章综合法、分析法和反证法习题课。在开始新课前，我们先明确学习目标。其一，结合已学数学实例，对比、总结并巩固综合法、分析法和反证法这三种证明方法的思考过程与思维特点；其二，能依据题目条件和结论的特征，选择恰当方法完成命题证明，且在综合运用综合法和分析法完成证明时，提升解决问题的能力。
为达成这些目标，请同学们先完成两个学习任务：一是选择合适的证明方法完成以下例题的证明；二是通过例题解题过程，回顾所选方法的思考过程与思维特点。现在，请大家看三个例题，解题时思考两个问题：如何解决？所选方法的思考过程和思维特点是什么？
首先看第一个例题：已知(A)、(B)为正实数，且(a + b = 1)，求证(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4)。这个题目的证明，我们可以从已知条件(a + b = 1)入手，结合结论(\frac{1}{a} + \frac{1}{b})进行变形，(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b + a}{ab} = \frac{1}{ab})。因为(a)、(b)为正实数，由均值不等式可得(ab \leq (\frac{a + b}{2})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4})，所以(\frac{1}{ab} \geq 4)，即(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4)，当且仅当(a = b = \frac{1}{2})时等号成立。
在这个证明过程中，我们从已知条件(a + b = 1)出发，这是“因”，通过推理得出要证明的结论(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4)，这是“果”，所以本题采用的是由因导果的综合法。
下面我们一起回顾总结一下综合法的相关知识。综合法是从命题的条件出发，利用定义、公理、定理及运算法则，通过演绎推理，逐步接近要证明的结论，直至完成命题证明的思维方法。其解题思路可概括为“由因导果”，解题过程可以用这样的框图表示：条件逐步转化为中间结论，最终得到要证明的结论。
再来看第二个例题：已知(a + b > 0)，求证(\sqrt{a^2 + b^2} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a + b))。这个题若像上题一样从已知条件入手，方向不太明确，因为(a + b > 0)这个条件较难直接转化以靠近结论。所以我们从较为复杂的结论出发，要证明(\sqrt{a^2 + b^2} \geq \frac{\sqrt{2}}{2}(a + b))，两边同时平方（因为两边均为非负），只需证明(a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}(a + b)^2)，展开(\frac{1}{2}(a + b)^2)得(\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2))，整理后即证(a^2 + b^2 \geq \frac{1}{2}a^2 + ab + \frac{1}{2}b^2)，进一步得到(a^2 + b^2 \geq 2ab)，而((a - b)^2 \geq 0)，展开就是(a^2 + b^2 \geq 2ab)，这个式子显然成立。
在这个过程中，我们从结论出发，这是“果”，经过推理得到显然成立的条件，这是“因”，所以本题采用的是执果索因的分析法。
我们来回顾总结分析法的相关知识。分析法是从求证的结论出发，逐步探索保证前一个结论成立的充分条件，直至归结为这个命题的条件，或者归结为定义、公理、定理等，这种证明问题的思维方法称为分析法。其基本思路可概括为“执果索因”，用框图表示为：结论逐步倒推，寻找使其成立的充分条件，直至回到条件或已知定理等。
最后看第三个例题：已知(x)、(y)为正实数，且(x + y < 2)，求证(\frac{x + 1}{y} > 2)和(\frac{y + 1}{x} > 2)中至少有一个成立。题目中有“至少”这个词，“至少有一个成立”包含一个成立、另一个成立或者两个都成立三种情况，其反面是两个都不成立，只有一种情况。结论正面较为复杂，反面相对简单，所以我们采用反证法来解决。
假设结论不成立，即(\frac{x + 1}{y} \leq 2)且(\frac{y + 1}{x} \leq 2)。因为(x)、(y)为正实数，所以(\frac{x + 1}{y} \leq 2)可化为(x + 1 \leq 2y)，(\frac{y + 1}{x} \leq 2)可化为(y + 1 \leq 2x)。两式相加得(x + y + 2 \leq 2x + 2y)，即(x + y \geq 2)，这与已知条件(x + y < 2)矛盾。推理过程无误，所以假设不成立，原结论成立。
通过这个题目，我们来看反证法的解题过程：先假设结论不成立，即否定结论；然后进行推理，导出矛盾；因为矛盾说明假设错误，从而肯定结论。
在证明数学命题时，先假定命题结论的反面成立，在此前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假设本身相矛盾，从而断定命题的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫做反证法。其解题步骤为：做出否定结论的假设，进行推理导出矛盾，否定假设，肯定结论。
通过以上三个例题，我们回顾总结了三种证明方法的定义、思考过程及特点。现在反思一下，这三个问题都是不等式证明，但我们采用了完全不同的三种方法。为什么呢？例一有好用的已知条件(a + b = 1)，对其转化能明显接近要证明的结论，符合综合法思考特点；例二虽也是不等式证明，但没有明确好转化的已知条件，要证明的结论形式复杂，所以从转化结论开始，采用分析法合适；例三要证明的结论正面情况复杂，反面简单，符合“正难则反”，采用反证法合适。
大家掌握三种方法的特点了吗？我们通过两个题目来验证一下。先看第一个题目：（题目内容）相信同学们很快能选择综合法来解决，因为题目中有(a + b = 2)这个很好转化且能指向结论的条件。对(2^a + 2^b)，由均值不等式可得(2^a + 2^b \geq 2\sqrt{2^a \times 2^b} = 2\sqrt{2^{a + b}})，把(a + b = 2)代入得(2\sqrt{2^{2}} = 4)，即(2^a + 2^b \geq 4)，当且仅当(a = b = 1)时等号成立，从而得到结论证明。
再看第二个题目：（题目内容）它有等式已知条件，但要证明的结论是不等关系(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd \neq 1)，不等于(1)的情况太多，等于(1)的情况唯一确定，正面复杂，反面简单，所以可以采用反证法。假设结论不成立，即(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd = 1)。已知(ad - bc = 1)，将两式相减得(a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + ab + cd - (ad - bc) = 0)，整理可得((a + b)^2 + (c + d)^2 + (a - d)^2 + (b + c)^2 = 0)，因为平方数非负，所以(a + b = 0)，(c + d = 0)，(a - d = 0)，(b + c = 0)，解得(a = b = c = d = 0)，这与(ad - bc = 1)矛盾。推理无误，假设不成立，原结论成立。
完成这两个练习，我们达成了两个任务：一是回顾总结了三种证明方法的思考过程和思维特点；二是学习了每种方法的适用特点，能根据题目条件和结论特征选择合适方法。
老师还有个疑问，综合法和分析法从思考过程和书写形式上看，过程是互逆的，它们在应用时是不是完全孤立、不能同时使用呢？我们通过一个题目来找答案。（题目内容）这个题目有直接已知条件角(A)、角(B)、角(C)成等差数列，符合综合法思维特点。但要证明的结论(\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} = \frac{3}{a + b + c})形式复杂，直接从条件推导不太明确，所以可以对结论进行转化，这又符合分析法特点。
我们先对结论变形，两边同时乘以(a + b + c)得(\frac{a + b + c}{a + b} + \frac{a + b + c}{b + c} = 3)，即(\frac{c}{a + b} + \frac{a}{b + c} = 1)，再化分式为整式得(c(b + c) + a(a + b) = (a + b)(b + c))，展开整理得(a^2 + c^2 = b^2 + ac)，记为新式。
由角(A)、角(B)、角(C)成等差数列，可得(2B = A + C)，又(A + B + C = \pi)，所以(3B = \pi)，即(B = 60^{\circ})。由余弦定理(b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B)，(\cos B = \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2})，所以(b^2 = a^2 + c^2 - ac)，也就是(a^2 + c^2 = b^2 + ac)，正好是新式内容，所以新式成立，原结论成立。
回顾这个题目，前半部分采用分析法，因为结论形式复杂，通过变形寻找充分条件，得到熟悉结果；后半部分采用综合法转化已知条件，不是接近要证明的结论，而是接近结论转化后的结果。一个顺推，一个逆推，在某处相遇，题目得证。这说明两种方法在同一题目中并非完全割裂，它们共同作用使解题更方便。综合法推理清晰、易于书写，分析法从结论入手、易于寻找解题思路。证明命题时，我们常把分析法与综合法结合使用，这样更有利。
其实在立体几何证明平行和垂直关系时，我们就常用这种方式。先对要证明的结论进行分析逆推，再对题目条件进行转化顺推，若二者在某处结合，题目就完成证明，这就是分析综合法。其结构特点是：根据条件结构特点转化结论，得到中间结论(q)；又根据结论结构特点转化条件，得到中间结论(p)，若(p)可推出(q)，即可得证。
我们再用三个问题检测一下大家是否达到本节课目标。第一个问题，综合法、分析法以及反证法的思考过程和思维特点是什么？综合法是转化已知条件，逐步接近要证明的结论，由因导果；分析法是逐步转化题目结论，寻找结论的充分条件，直至得到一个显然成立的条件，执果索因；反证法是从结论的否定入手，通过推理导出矛盾，“正难则反”时使用。第二个问题，你能根据题目条件和结论的特征，选择合适的方法完成命题的证明吗？即是否掌握三种方法的适用特点，综合法适用于有容易转化的已知条件；分析法适用于已知条件不易转化，从结论入手；反证法适用于证明结论正面很难，反面相对简单。第三个问题，综合法和分析法分别是如何转化条件的？它们如何结合使用？综合法一步步转化已知条件，寻找已知条件的必要条件；分析法一步步转化结论，寻找结论成立的充分条件。二者结合使用时，威力强大。
如果这三个问题大家都能回答得很好，说明本节课达标。接下来是本节课作业，第一块是巩固作业，第二块是预习作业，巩固作业答案在后面。本节课到此结束，谢谢大家。