师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们来学习第2.1节负数的加法与减法。首先，我们来看一下今天的学习目标：
理解复数代数形式的加法运算和减法运算的定义，能够运用定义求出两个复数的和与差。
了解复数代数形式的加法法则满足的运算律。
了解复数加法运算和减法运算的几何意义。
通过运算训练，提升学生的数学运算素养。
下面，我们来回顾一下上节课所学习的内容。
复数的有关概念：复数的代数形式$z = a + bi$，$a,b\in R$，其中$a$、$b$分别叫做复数$z$的实部和虚部。
复数的模：复数$z = a + bi$，$a,b\in R$，它的模为$\sqrt{a^{2}+b^{2}}$，同学们也可以理解为根号下实部的平方加虚部的平方。
复数的几何意义：复数$z = a + bi$，$a,b\in R$，它与复平面内的点$(a,b)$是一一对应的，同时它与复平面内的向量$\overrightarrow{OZ}=(a,b)$也是一一对应的。
我们知道实数有加减运算，且实数的加法满足运算律：$a + b = b + a$，即交换律；$(a + b) + c = a + (b + c)$，即结合律。
那么复数应怎样进行加减运算呢？运算律还成立吗？这就是我们今天首先要探究的问题。
通过上一节课的学习，同学们可以发现教材中有这样的一些规定，比如说$i^{2} = - 1$，虚数单位$i$可以和实数$b$相乘，得$bi$，且$0$乘以$i$也等于$0$，$bi$还可以和实数$a$相加，得$a + bi$。另外，$bi = ib$，$a + bi = bi + a$。由此我们可以发现虚数单位$i$可以和实数进行运算，且运算律仍然成立。
因此，我们可以这样定义复数的加减运算：设复数$Z_{1} = a + bi$，$a,b\in R$，复数$Z_{2} = c + di$，$c,d\in R$。
复数的加法法则：$Z_{1} + Z_{2} = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$，即我们可以这样理解，两个复数相加，可以将其实部与实部相加作为两个复数和的实部，将其虚部与虚部相加作为两个复数和的虚部。
复数的减法法则：$Z_{1} - Z_{2} = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$，即我们可以这样理解，两个复数相减，可以将其实部与实部相减作为两个复数差的实部，其虚部与虚部相减作为两个复数差的虚部。
因为$a,b\in R$，$c,d\in R$，所以$a + c$，$b + d$，$a - c$，$b - d$，它们也属于实数集。这就说明这两个结果均符合复数的代数形式，所以我们说这两个结果均为复数，也就是说两个复数的和或差仍然是一个复数，它的实部是原来两个复数的实部的和或差，它的虚部是原来两个复数的虚部的和或差。注意，复数的加减法可类比多项式的加减法进行。
下面，请同学们来继续探究这样一个问题，复数的加法法则是否满足交换律和结合律？
设复数$Z_{1} = a_{1} + b_{1}i$，复数$Z_{2} = a_{2} + b_{2}i$，复数$Z_{3} = a_{3} + b_{3}i$。其中$a_{1},b_{1},a_{2},b_{2},a_{3},b_{3}$均属于实数集。
交换律：
$Z_{1} + Z_{2} = (a_{1} + b_{1}i) + (a_{2} + b_{2}i) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2})i$
$Z_{2} + Z_{1} = (a_{2} + b_{2}i) + (a_{1} + b_{1}i) = (a_{2} + a_{1}) + (b_{2} + b_{1})i$
因为$a_{1} + a_{2} = a_{2} + a_{1}$，$b_{1} + b_{2} = b_{2} + b_{1}$，所以$Z_{1} + Z_{2} = Z_{2} + Z_{1}$，即复数的加法满足交换律。
结合律：
$(Z_{1} + Z_{2}) + Z_{3} = [(a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2})i] + (a_{3} + b_{3}i) = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) + (b_{1} + b_{2} + b_{3})i$
$Z_{1} + (Z_{2} + Z_{3}) = (a_{1} + b_{1}i) + [(a_{2} + a_{3}) + (b_{2} + b_{3})i] = (a_{1} + a_{2} + a_{3}) + (b_{1} + b_{2} + b_{3})i$
显然这两个式子是一样的，所以$(Z_{1} + Z_{2}) + Z_{3} = Z_{1} + (Z_{2} + Z_{3})$，即复数的加法满足结合律。
下面，请同学们继续来思考一个问题，复数的加法减法有怎样的几何意义呢？我们来共同探究一下。
设复数$Z_{1} = a + bi$，$a,b\in R$，复数$Z_{2} = c + di$，$c,d\in R$。
由复数的几何意义可知，复数$Z_{1}$、$Z_{2}$分别对应向量$\overrightarrow{OZ_{1}}=(a,b)$、$\overrightarrow{OZ_{2}}=(c,d)$。
由向量的坐标运算可知，$\overrightarrow{OZ_{1}} + \overrightarrow{OZ_{2}} = (a + c,b + d)$，又由复数的加法法则得到$Z_{1} + Z_{2} = (a + c) + (b + d)i$。
显然，我们可以发现复数$Z_{1} + Z_{2}$与向量$\overrightarrow{OZ_{1}} + \overrightarrow{OZ_{2}}$是一一对应的。
如图，向量$\overrightarrow{OZ_{1}}$与向量$\overrightarrow{OZ_{2}}$是两个不共线的向量，我们以这两个向量为邻边画一个平行四边形$OZ_{1}ZZ_{2}$。
由向量的平行四边形法则，我们可以知道，$\overrightarrow{OZ} = \overrightarrow{OZ_{1}} + \overrightarrow{OZ_{2}} = (a + c,b + d)$。
显然，同学们可以发现，复数$Z_{1} + Z_{2}$与向量$\overrightarrow{OZ}$是一一对应的，即复数的加法符合向量加法的平行四边形法则。
同理，$Z_{1} - Z_{2} = (a - c) + (b - d)i$，$\overrightarrow{OZ_{1}} - \overrightarrow{OZ_{2}} = (a - c,b - d)$。
如图，向量$\overrightarrow{OZ_{2}}$与向量$\overrightarrow{OZ_{1}}$是两个不共线的向量，我们以这两个向量为邻边建立一个三角形。
由向量的三角形法则，同学们可以知道，$\overrightarrow{OZ_{1}} - \overrightarrow{OZ_{2}} = \overrightarrow{Z_{2}Z_{1}}$，即我们有复数$Z_{1} - Z_{2}$与向量$\overrightarrow{OZ_{1}} - \overrightarrow{OZ_{2}}$，也即向量$\overrightarrow{Z_{2}Z_{1}}$是一一对应的。