师：同学们，大家好。今天我们学习高中数学，北京师范大学出版社高二年级选修1 - 2第三章第一节第二课时——类比推理。首先，我们来看一段视频。
在中国民间，千百年来流传着鲁班发明锯子的故事。有一年，鲁班接受了一项建造大宫殿的任务，需要大量木料，且工程期限很紧。鲁班让徒弟们上山砍伐木材，当时没有锯子，只能用斧子砍，工效很低。徒弟们每天累得精疲力竭，木料却远远供应不上，耽误了工程进度。
鲁班心里着急，便亲自上山查看。上山时，他偶然拉了一把山上长的锯藤，也就是丝茅子，手就被划破了。鲁班很奇怪，一根小草为何如此锋利？他把草折下来仔细观察，发现草的两边都长有许多小细齿，他的手就是被这些小齿划破的。鲁班顿时受到启发，在金属工匠的帮助下，做了一把带有许多小齿的铁条，拿去锯树，果然又快又省力，锯子就这样发明了。
视频中鲁班的思路是：野草是齿形的，野草能割破手；我需要一种能割断木头的工具，它也可以是齿形的。通过这种类比带来的启发，鲁班发明了锯子。大家能举出类似的例子吗？
生：仿照鱼类的外形和它们在水中沉浮的原理，人类发明了潜水艇。仿照蜻蜓的外形和它们的飞行原理，人类发明了直升机。
师：非常好，仿生学中许多发明的最初构想都是类比生物机制得到的，上面这些例子都用到了数学中类比推理的知识。我们来看这样一个问题。
为了回答这个问题，科学家把火星与地球进行类比，发现火星与地球存在某些类似特征。比如火星也是围绕太阳运行、绕轴自转的行星，火星有大气层，火星一年中有四季变更，火星大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存。地球上有生命存在，科学家猜测火星上也可能有生命存在。
我们来看火星与地球类比的思维过程：首先把火星与地球进行类比，发现它们存在类似特征；然后根据地球上有生命存在这个已知特征，科学家猜想火星上也可能具有这个特征，即火星上也可能有生命存在。从以上例子可以发现，根据一类事物的特征，合理地推断出另一类事物也可能具有类似的特征，这就是今天我们要学习的类比推理。它是在两类不同对象具有某些类似特征的基础上，根据一类对象的其他特征，推断另一类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理，简称类比。
类比推理是两类事物特征之间的推理，其一般模式为：A类事物具有性质a、b、c；B类事物具有性质a1、b1、c1。若a、b、c与a1、b1、c1相似或相同，可以推测B类事物也可能具有性质d1。
在立体几何的学习中，我们可以通过与平面几何的相关内容进行类比，发现立体几何的一些概念和性质。数学家波利亚曾指出，类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往往有赖于平面几何的类比问题。平面图形与空间图形的类比中，平面图形中的点可以类比成空间中的点或线；平面图形中的线类比到空间可以是线、面或体；平面图形的周长类比到空间就是表面积；平面图形的面积类比到空间就是几何体的体积；平面直角坐标系可以类比成空间直角坐标系。
我们将平面上的圆与空间中的球进行类比。圆与球在维度上不同，但在形状和概念上有类似之处，形状上都有完美的对称性，都是到定点的距离等于定长的点的集合。大家能类比圆的性质，说出球的一些性质吗？
生：圆的周长类比成球的表面积，圆的面积类比成球的体积。在圆中，圆心与弦中点的连线垂直于弦，那么在球中，球心与不过球心的截面的圆心的连线垂直于截面。圆中与圆心距离相等的两弦相等，在球中，与球心距离相等的两截面面积相等。圆中与圆心距离不相等的两弦不相等，距圆心较近的弦较长，在球中，与球心距离不相等的两截面面积不相等，距球心较近的面积较大。
师：非常好。在平面直角坐标系当中，圆的方程可以表示为((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2)。那么在空间直角坐标系当中，球的方程就可以表示为((x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = r^2)。下面我们来看具体例子。
已知正三角形内一点到三边距离之和是一个定值。将空间与平面进行类比，什么样的图形可以对应正三角形？有与上述定理相应的结论吗？请同学们认真思考。
生：在平面几何中，三角形是边数最少的封闭多边形，空间中，四面体是面数最少的封闭多面体，因此将空间与平面类比，四面体对应正三角形，四面体的面对应正三角形的边。于是得到猜测，四面体内一点到四个面的距离之和是一个定值。
师：同学们在课下可以思考对这个猜测进行证明。分析原结果的证明方法，如面积法，那么类比考虑猜测的证明可以用体积法。我们再来看一个例题，请同学们思考。
在等差数列与等比数列的学习中，我们知道学习等比数列可以类比着等差数列去研究。在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和，可以类比成等比数列中的积；等差数列中的差，可以类比成等比数列中的商；等差数列中的积，可以类比成等比数列中的幂。这样的规律也体现在它们的通项公式中。比如，等差数列的通项公式中的和类比到等比数列中就是积，等差数列中的积类比到等比数列中就是幂。我们就可以得到这样一个猜测，数列(d_n = \sqrt[n]{c_1 \times c_2 \times c_3 \cdots c_n})也是等比数列。