师：同学们好，欢迎大家进入数学课堂。今天我们将共同学习等比数列第一课时。首先明确一下今天的学习目标：一是通过生活中的实例理解等比数列的概念，培养抽象素养；二是探索并掌握等比数列通项公式，培养逻辑推理能力；三是理解等比数列通项公式中(a_1)、(n)、(q)、(a_n)的关系，并会用通项公式写出数列的任意一项，提升运算素养；四是理论联系实际，体会数学来源于生活、应用于生活，感受数学的价值。
同学们，我们先来回忆一下之前学过的等差数列的相关概念。等差数列的概念涉及定义以及通项公式，哪位同学能回忆一下等差数列是如何定义的呢？
生：一个数列从第二项开始，每一项与前一项的差等于同一个常数，这个数列就是等差数列，可以用公式(a_{n + 1} - a_n = d)（公差(d)）来表示。
师：非常好。那它的通项公式是什么样的呢？又是如何推导的呢？
生：通项公式(a_n = a_1 + (n - 1)d)，还有另一个公式(a_n = a_m + (n - m)d)，这是任意两项间的关系。通项公式的推导有不完全归纳法和累加法。
师：没错。带着这些知识，我们来看下面的问题。请同学们观察，找出其中的数列，并找出它们的共同特征。先看这个拉面问题，将一根很粗的面条拉伸、捏合，再拉伸，再捏合，这样捏合(8)次后可以拉出多少根面条呢？第一次捏合时，只有一根面条，拉伸之后再捏合变成了两根面条，再拉伸再捏合变成了(4)根，依次下去面条根数为(8)根、(16)根、(32)根、(64)根、(128)根。观察这组数列，大家发现了什么？
生：后一项都是前一项的两倍。
师：很好。再看第二个问题，星火化工厂今年的产值为(a)万元，计划在以后的五年中，每年比上年的产值增长(10%)。今年产值为(a)万元，第二年产值比今年的产值增长(10%)，所以第二年的产值为(a×(1 + 10%))。第三年比第二年增长了(10%)，所以第三年的产值为(a×(1 + 10%)^2)。依此类推，第四年的产值为(a×(1 + 10%)^3)，第五年的产值为(a×(1 + 10%)^4)，第六年的产值为(a×(1 + 10%)^5)。观察这组数列，又有什么发现呢？
生：后一项都是前一项的(1 + 10%)倍。
师：同学们把这两个问题进行比较分析，找出它们的共同规律。
生：它们的共同特征都是从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数。
师：非常棒。我们把这种数列称为等比数列。请同学们根据等差数列的概念来类比出等比数列的定义。
生：一般的，如果一个数列从第二项开始，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，常用字母(q)来表示。可以用符号语言描述为(\frac{a_n}{a_{n - 1}} = q)（(n \geq 2)），或者(\frac{a_{n + 1}}{a_n} = q)。这两个公式也称为它的递推公式。
师：现在请同学们思考一下，({a_n})是一个等比数列，那么它的首项(a_1)以及公比(q)能否为(0)呢？
生：(a_n)是分母，分母不能为(0)，所以(a_1 \neq 0)，公比(q)肯定也不能等于(0)。
师：对，等比数列的定义中，公比(q)是不能等于(0)的。请同学们根据等比数列的定义来判断例一中的(5)个小题，它们是不是等比数列。先看第一题。
生：从各项中可以发现，后一项与前一项的比都相等，所以这个数列是等比数列。
师：第二题呢？
生：(-2÷1 = -2)，(4÷(-2) = -2)，(-8÷4 = -2)，所以这个数列是等比数列。
师：第三个数列是常数列(1)，大家看看呢？
生：后一项与前一项的比均等于(1)，这个数列是等比数列。而且这个数列后一项与前一项的差都等于(0)，它也是一个等差数列。
师：那是不是所有常数列都既是等差数列又是等比数列呢？
生：根据定义，等比数列各项均不为(0)，当常数列各项为(0)的时候，它只能是等差数列，不能是等比数列。
师：再看第四题。
生：(8÷4 = 2)，(2÷8 = \frac{1}{4})，后一项与前一项的比不是同一个常数，不符合等比数列的定义，所以不是等比数列。
师：第五个数列(a)，(a^2)，(a^3)，(\cdots)，(a^n)呢？
生：当(a = 0)时，这是一个全部都是(0)的数列，不是等比数列；而当(a \neq 0)时，后一项与前一项的比值均等于常数(a)，所以它是等比数列。所以第(5)题是不是等比数列要由(a)来分类讨论，(a = 0)时不是，(a \neq 0)的时候是等比数列。
师：请同学们再认真分析前三组数列，思考以下问题。第一个问题，数列一中的各项与数列(2)中的各项是什么关系呢？
生：第一项都是(1)，第二项(-\frac{1}{2})和(-2)是倒数关系，第三项(\frac{1}{4})和(4)是倒数关系，(-\frac{1}{8})和(-8)、(16)和(\frac{1}{16})均成倒数关系，所以数列一中的各项与数列二中的各项成倒数关系。
师：数列一是等比数列，它的倒数构成的数列二也是等比数列，那么是不是说一个数列是等比数列，它的倒数也一定是等比数列呢？
生：可以用定义来分析，后一项与前一项的比值为(\frac{\frac{1}{a_{n + 1}}}{\frac{1}{a_n}} = \frac{a_n}{a_{n + 1}} = \frac{1}{q})，(q)是数列({a_n})的公比为常数，所以(\frac{1}{q})也是常数，由此可以确定({\frac{1}{a_n}})这个数列为等比数列。
师：再思考一下，数列一、数列二中的各项与数列三中的项有什么关系呢？
生：数列一、数列二中的各项对应相乘之后，全部都等于(1)，数列一、数列(2)都是等比数列，相乘之后得到的新数列也是一个等比数列。
师：那么数列({a_n})和数列({b_n})都是等比数列，它们相乘之后得到的新数列({a_nb_n})是一个什么样的数列呢？
生：用定义分析，(\frac{a_{n + 1}b_{n + 1}}{a_nb_n} = \frac{a_{n + 1}}{a_n}×\frac{b_{n + 1}}{b_n} = q_1q_2)，(q_1)、(q_2)分别是数列({a_n})和({b_n})的公比，均为常数，所以乘积也是常数，由此可以判定({a_nb_n})这个数列为等比数列。
师：通过刚刚的分析，我们可以归纳得出以下结论：一是数列({a_n})是等比数列，那么首项(a_1 \neq 0)，公比(q \neq 0)；二是如果数列({a_n})为等比数列，那么({\frac{1}{a_n}})这个数列也是等比数列；三是({a_n})、({b_n})均为等比数列，则({a_nb_n})这个数列也是等比数列；四是非(0)常数列既是等差数列，也是等比数列，注意一定要是非(0)这个条件。
理解了等比数列的定义，我们来思考一下，如果一个数列是等比数列，知道它的首项(a_1)，知道它的公比(q)，那么如何求它的通项公式呢？类比等差数列通项公式的推导方法，能不能推出等比数列的通项公式？我们先想想等差数列通项公式推导的不完全归纳法，利用这个方法看看可不可以推导出等比数列的通项公式。