师：同学们好，上节课王老师带大家共同学习了4.3节简单线性规划的应用第一课时。我们了解到，解决简单线性规划应用问题的实质，是从实际问题的已知条件中提炼出约束条件，找到目标函数，再利用解决线性规划的步骤求解出最优解，从而达到优化实际问题的目的。这充分体现了数学源于生活，生活中处处有数学。这节课我们将继续学习第二课时——整数解问题。
首先，我们来复习两个问题。第一，如何求解简单线性规划问题？分为四个步骤：第一步，画出可行域；第二步，通过平移直线找到最优解；第三步，解方程组求出最优解；第四步，作答，将最优解代入目标函数得出答案。
第二个问题，线性规划问题中，目标函数的最优解在何处取得？通过前面两节课的学习，我们知道，如果目标函数的最大值、最小值在可行域的顶点处取得，那么最优解有一个；若目标函数的最大值、最小值在可行域的边界上取得，那么满足条件的最优解有无数个。
复习完这两个问题，我们开始学习今天的内容。请看例一：A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加。已知A区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务；B区的每位同学往返车费是5元，每人可为3位老人服务。如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多，最多是多少人？
第一遍题目读完后，我们发现信息量很大，所以需要带着问题进行第二遍读题。我们知道，解决简单线性规划应用问题，关键是提炼出约束条件和目标函数。这里我们要解决的问题是：怎样安排参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多。在这个问题中，受到服务的老人数量就是我们目标函数中的z。安排参与活动同学的人数涉及两个变量，我们设参与A小区活动同学的人数为x，参与B小区活动同学的人数为y。接下来，我们在第二遍读题中找x、y满足的约束条件。
师：“A、B两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动”，这句话介绍了事件。“两个小区都有同学参加”，由此我们可以提炼出变量x、y满足的约束条件是，x、y应当是大于等于1的整数。“已知A区的每位同学往返车费是3元”，那么A区往返车费总费用就是3x元，每人可为5位老人服务，所以A区共可以服务5x位老人；“B区的每位同学往返车费是5元”，B区往返车费就是5y元，每人可为3位老人服务，B区共可以服务3y位老人。“如果要求B区参与活动的同学比A区的同学多”，这里可以提炼出x、y满足的约束条件是y＞x，因为x、y都是整数，所以也可以说y - x≥1。“且去敬老院的往返总车费不超过37元”，那么可以得到x、y的一个约束条件：A区总车费3x加上B区总车费5y，即3x + 5y≤37。受到服务的老人记为目标函数中的z，z与x、y的关系是：A区服务5x位老人，B区服务3y位老人，所以z = 5x + 3y。
在第二遍读题过程中，我们收获了很多信息。接下来，我们把分析转化为实际操作。解：设A、B两区参与活动的人数分别是x、y，受到服务的老人人数为z，则z = 5x + 3y。由前面的分析，根据题意列出约束条件：
x、y是大于等于1的整数；
y - x≥1；
3x + 5y≤37。
第一步，找到了约束条件，我们要完成解决简单线性规划的第一个步骤——做出可行域。第一条直线y - x = 1，其区域在直线的左上方；第二条直线3x + 5y = 37，其区域在直线的左下方。结合x、y都是正数，我们可以得到如图所示的三角形ABC。又因为x、y表示人数，所以它们都得是整数点，我们在区域ABC内找出所有的整数点。
师：是不是如图所示的这几个黑色的整数点？画出可行域以后，我们来到第二个步骤——平移直线找到最优解。和之前学习一样，要知道向上平移还是向下平移z会变大变小，我们需要找出z的变化规律。同样，我们可以取z的几个不同数值，得到几条不同直线观察规律。
师：我们将z = 0、3、6、8、12，就可以得到：第一条直线l?：5x + 3y = 0；第二条直线l?：5x + 3y = 3；第三条直线l?：5x + 3y = 6；第四条直线l?：5x + 3y = 8；第五条直线l?：5x + 3y = 12。由这五条平行直线我们观察出自下而上，z逐渐增大，因此平移直线时，向上平移z逐渐增大，向下平移z逐渐减小。带着这个规律，我们将5x + 3y = 0放在可行域所在的平面直角坐标系中，只有向上平移才会和可行域有交点，所以向上平移z逐渐增大。同学们观察出来了吗？
师：最后经过可行域的A点。我们通过平移直线找到了最优解是A点，接下来观察出A点是直线3x + 5y = 37和y - x = 1的交点。因此来到第三步——解方程组：
[
\begin{cases}
y - x = 1 \
3x + 5y = 37
\end{cases}
]
求得A点坐标为(4, 5)，(4, 5)是满足条件的整数解。
师：将A(4, 5)代入目标函数中，完成第四步作答。将A点代入目标函数，所以z最大值 = 5×4 + 3×5 = 35。这是一道应用题，最后我们要作答。答：A、B区参加活动分别是4人、5人时，服务老人人数最多是35人。
在这道题目中，我们求出的A点最优解(4, 5)是满足题意的整数解。这里有个问题，如果最优解A点不是整数解，我们该怎么办？请看变式一：某运输公司向某地区运送物品，每天至少运送180吨。该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员。每辆卡车每天往返次数为：A型车4次，B型车3次。每辆卡车每天往返的成本费：A型车为320元，B型车为504元。为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的成本最低。