师：同学们好，上一节课蒋道波老师带领大家学习了基本不等式与最大最小值。今天我们一起学习新内容：第四节简单线性规划。首先，学习第一课——二元一次不等式组与平面区域。请大家回顾初中知识，一次函数(y = kx + b)（(k)、(b)是常数，(k≠0)），它的图像是什么？如何判断点(P(x_0,y_0))与一次函数(y = kx + b)（(k)、(b)是常数，(k≠0)）图像的位置关系？
如图所示，一次函数(y = kx + b)的图像是一条直线。若点(P(x_0,y_0))在直线上，那么点(P)的坐标((x_0,y_0))满足(y_0 = kx_0 + b)；若点(Q(x_1,y_1))不在直线上，那么点(Q)的坐标((x_1,y_1))满足(y_1≠kx_1 + b)。接下来，我们学习新知识。
首先探究二元一次方程与直线的关系，请大家思考问题一：在平面直角坐标系中作函数(y = x + 1)的图像，图像上的点(P(x_0,y_0))的坐标((x_0,y_0))满足什么关系？
如图，点(P(x_0,y_0))在直线(y = x + 1)上，则点(P)的坐标((x_0,y_0))满足(y_0 = x_0 + 1)。
请大家再思考问题二：二元一次方程(x - y + 1 = 0)的一个解((x_0,y_0))是平面直角坐标系中的一个点，那么集合({(x,y)|x - y + 1 = 0})表示什么图形？
如果((x_0,y_0))是二元一次方程(x - y + 1 = 0)的解，则((x_0,y_0))满足方程，即(x_0 - y_0 + 1 = 0)，该等式可转化为(y_0 = x_0 + 1)。
由此可知，点((x_0,y_0))的坐标((x_0,y_0))满足一次函数解析式(y = x + 1)，即点((x_0,y_0))在直线上。所以，二元一次方程(x - y + 1 = 0)可以表示平面直角坐标系中的一条直线，也就是一次函数(y = x + 1)的图像。
那么，任何关于(x)、(y)的二元一次方程(ax + by + c = 0)（(a)、(b)不同时为(0)），是否都可以表示平面直角坐标系中的一条直线呢？
如图，当(b≠0)，(a≠0)时，二元一次方程可转化为(y = -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b})，即一次函数的解析式，它表示平面直角坐标系中的一条直线。
当(b≠0)，(a = 0)时，得到(y = -\frac{c}{b})，表示平面直角坐标系中所有纵坐标为(-\frac{c}{b})的点组成的图形，即一条平行于(x)轴的直线。
当(b = 0)，(a≠0)时，得到(x = -\frac{c}{a})，表示平面直角坐标系中所有横坐标为(-\frac{c}{a})的点组成的图形，即一条垂直于(x)轴的直线。
综上可知，任何关于(x)、(y)的二元一次方程(ax + by + c = 0)（(a)、(b)不同时为(0)），都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。
接下来探究二元一次不等式与平面区域的关系。已知平面直角坐标系中的三组点，第一组点((1,2))、((2,3))、((3,4))；第二组点((1,4))、((2,4))、((3,5))；第三组点((1,-1))、((2,2))、((3,2))。请大家思考下面两个问题：
一、在平面直角坐标系中标出上述三组点，它们与直线(x - y + 1 = 0)的位置关系如何？
二、将这些点的坐标分别代入方程(x - y + 1 = 0)，你有什么发现？
我们看第一组点，如图，在平面直角坐标系中标出这三个点，这三个点都落在直线(x - y + 1 = 0)上。将这三个点的坐标代入(x - y + 1)，得到(1 - 2 + 1 = 0)，(2 - 3 + 1 = 0)，(3 - 4 + 1 = 0)，这三个点的坐标满足(x - y + 1 = 0)，即(y = x + 1)。
再看第二组点，如图，在平面直角坐标系中标出这三个点，这三个点都落在直线(x - y + 1 = 0)的上方一侧。将这三个点的坐标代入(x - y + 1)，得到(1 - 4 + 1 < 0)，(2 - 4 + 1 < 0)，(3 - 5 + 1 < 0)，三个点的坐标满足(x - y + 1 < 0)，即(y > x + 1)。
最后看第三组点，如图，在平面直角坐标系中标出这三个点，这三个点都落在直线(x - y + 1 = 0)的下方一侧。将这三个点的坐标代入(x - y + 1)，得到(1 - (-1) + 1 > 0)，(2 - 2 + 1 > 0)，(3 - 2 + 1 > 0)，三个点的坐标满足(x - y + 1 > 0)，即(y < x + 1)。
综上所述，我们思考：直线(l)：(ax + by + c = 0)同一侧的点的坐标是否满足同一个二元一次不等式呢？下面通过一个例题来探究这个问题。
请看例一：试确定集合({(x,y)|x + 2y - 3 > 0})表示的平面区域。
在平面直角坐标系中作直线(l)：(x + 2y - 3 = 0)。如图，(l)把直角坐标平面分成三个部分，在(l)上取一点(M(\frac{1}{2},\frac{5}{4}))，过点(M)作垂直于(x)轴的直线(L_1)：(x = \frac{1}{2})。
在(L_1)上点(M)上方一侧，任取一点(M_1(\frac{1}{2},y_1))，则(y_1 > \frac{5}{4})，得到(\frac{1}{2} + 2y_1 - 3 > \frac{1}{2} + 2×\frac{5}{4} - 3 = 0)，即点(M_1)的坐标满足不等式(x + 2y - 3 > 0)。
在(L_1)上点(M)下方一侧，任取一点(M_2(\frac{1}{2},y_2))，则(y_2 < \frac{5}{4})，得到(\frac{1}{2} + 2y_2 - 3 < \frac{1}{2} + 2×\frac{5}{4} - 3 = 0)，即点(M_2)的坐标满足不等式(x + 2y - 3 < 0)。
点(M)是我们选取的一个特殊点。如果在直线上任意选取一点，会有怎样的结论呢？
同理，在(l)上任取一点(P(x_0,y_0))，则(x_0 + 2y_0 - 3 = 0)。过点(P)作垂直于(x)轴的直线(L_2)：(x = x_0)。
在(L_2)上点(P)上方一侧任取一点(P_1(x_0,y_3))，则(y_3 > y_0)，得到(x_0 + 2y_3 - 3 > x_0 + 2y_0 - 3 = 0)，即点(P_1)的坐标满足不等式(x + 2y - 3 > 0)。
在(L_2)上点(P)下方一侧任取一点(P_2(x_0,y_4))，则(y_4 < y_0)，得到(x_0 + 2y_4 - 3 < x_0 + 2y_0 - 3 = 0)，即点(P_2)的坐标满足不等式(x + 2y - 3 < 0)。
由点(P)选取的任意性，我们得到：直线(L)：(x + 2y - 3 = 0)将直角坐标平面分成三部分，直线(l)及其两侧。在(l)上方的平面区域内的任意点的坐标((x,y))满足不等式(x + 2y - 3 > 0)，而另外两部分的点均不满足不等式(x + 2y - 3 > 0)。其中直线(l)上的点((x,y))坐标满足方程(x + 2y - 3 = 0)，直线(l)下方的平面区域内的任意点坐标((x,y))满足不等式(x + 2y - 3 < 0)。
所以，不等式(x + 2y - 3 > 0)表示的是直线(x + 2y - 3 = 0)上方的平面区域。如图，因为所表示的区域不包括直线(x + 2y - 3 = 0)，因此边界直线要画成虚线。
将例一的研究方法应用于任意一条直线，我们不难得到结论：一般的，直线(l)：(ax + by + c = 0)把直角坐标平面分成了三个部分。
直线(l)上的点((x,y))的坐标满足(ax + by + c = 0)。
直线(l)一侧的平面区域内的点((x,y))的坐标满足(ax + by + c > 0)。
直线(l)另一侧的平面区域内的点((x,y))的坐标满足(ax + by + c < 0)。
请大家思考：不等式(x > 3)、(y < -1)分别表示什么平面区域？
不等式(x > 3)表示直线(x = 3)右侧的平面区域；不等式(y < -1)表示直线(y = -1)下方的平面区域。
下面我们利用今天所学的知识来解决几个问题，请看例二：画出不等式(2x - y - 4 ≤ 0)表示的平面区域。
首先在平面直角坐标系中作直线(2x - y - 4 = 0)。由不等式可知，平面区域包括边界直线，因此我们将直线画成实线。
根据我们的结论，直线一侧的平面区域即为所求。那么如何判断是哪一侧区域呢？我们知道直线同一侧区域内的点的坐标满足同一个二元一次不等式，因此可以取一个特殊点进行验证。取原点(O(0,0))，把点(O)的坐标代入(2x - y - 4)，得(2×0 - 0 - 4 < 0)。所以原点在(2x - y - 4 < 0)表示的平面区域内，不等式(2x - y - 4 ≤ 0)表示的平面区域为原点所在的直线一侧，包含边界直线。
我们也可以将不等式(2x - y - 4 ≤ 0)转化为(y ≥ 2x - 4)。所以不等式(2x - y - 4 ≤ 0)表示的平面区域是直线(2x - y - 4 = 0)的上方一侧的区域，包含边界直线，如图阴影部分所示。
一般的，我们常采用第一种方法，即在直线(ax + by + c = 0)的某一侧的平面区域内任取一个特殊点((x_0,y_0))，从(ax_0 + by_0 + c)值的正负即可判断不等式表示的平面区域。
请看例三：画出以下不等式组表示的平面区域。
不等式(1)：(x + y - 1 ≥ 0)；
不等式(2)：(x - y < 0)；
不等式(3)：(x ≤ 2)。
不等式组表示的平面区域是不等式(1)、(2)、(3)所表示的平面区域的公共部分，要注意是否包含边界直线。
我们在平面直角坐标系中分别作出三条直线，其中不等式(1)、不等式(3)所表示的区域包括边界直线，因此直线(x + y - 1 = 0)和直线(x = 2)画成实线，而不等式(2)所表示的区域不包括边界直线，因此直线(x - y = 0)画成虚线。
利用刚才所学的方法，我们可以判断不等式(1)表示直线(x + y - 1 = 0)的上方包括直线的平面区域；不等式(2)表示直线(x - y = 0)上方不包括直线的平面区域。不等式(1)和(2)所表示的区域的公共部分如图所示。
不等式(3)表示直线(x = 2)左方包括直线的平面区域。所以三个不等式所表示的区域的公共部分，即该不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示。
请大家尝试完成下面的练习：
工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：生产每吨甲产品需要电力(2)千瓦小时，煤(3)吨，工人(5)人；生产每吨乙产品需要电力(8)千瓦小时，煤(5)吨，工人(2)人。该厂有工人(200)人，每天只能保证(160)千瓦小时的用电额度，每天用煤不得超过(150)吨。请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的产量范围。
不难发现，每天甲、乙两种产品的产量范围会受到该厂的工人总数、每天的用电额度以及每天的用煤总量的限制，这会产生一系列的不等关系。
解：设每天分别生产甲、乙两种产品(x)吨和(y)吨。
生产(x)吨甲产品和(y)吨乙产品的用电量是(2x + 8y)千瓦小时，根据条件有(2x + 8y ≤ 160)；用煤量为(3x + 5y)吨，根据条件有(3x + 5y ≤ 150)；用工人数为(5x + 2y)人，根据条件有(5x + 2y ≤ 200)，另外还有(x ≥ 0)，(y ≥ 0)。
综上所述，(x)、(y)应满足以下不等式组：
(\begin{cases}2x + 8y ≤ 160 \ 3x + 5y ≤ 150 \ 5x + 2y ≤ 200 \ x ≥ 0 \ y ≥ 0\end{cases})
对应甲、乙两种产品的产量范围是这组不等式表示的平面区域，如图所示。
在平面直角坐标系中分别作出三条直线(3x + 5y = 150)，(5x + 2y = 200)，(2x + 8y = 160)。利用今天所学的知识，我们可以判断出甲、乙两种产品的产量范围，就是图中阴影部分所表示的平面区域。
下面我们总结一下本节课的主要内容：
一、二元一次方程与直线
任何关于(x)、(y)的二元一次方程(ax + by + c = 0)（(a)、(b)不同时为(0)），都可以表示平面直角坐标系中的一条直线。
二、二元一次不等式与平面区域
一般的，直线(l)：(ax + by + c = 0)将平面分成了三个部分：
直线(l)上的点的坐标((x,y))满足(ax + by + c = 0)。
直线(l)一侧的点坐标((x,y))满足不等式(ax + by + c > 0)。
直线(l)另一侧的点的坐标((x,y))满足(ax + by + c < 0)。
三、在直线(ax + by + c = 0)的某一侧的平面区域内，任取一点((x_0,y_0))，通过(ax_0 + by_0 + c)的正负，我们就可以判断二元一次不等式所表示的平面区域。
本节课所体现的数学思想方法是数形结合思想。
最后请同学们课下完成书本上的练习，今天的课就上到这里，同学们再见。