师：同学们好。上节课，王老师带大家学习了4.1节二元一次不等式组与平面区域，相信大家收获颇丰。本节课，我们将共同学习4.2节简单线性规划。首先，我们来复习相关问题。
二元一次不等式表示什么图形和平面区域呢？请大家画出5X + 6Y ≤ 30表示的平面区域。第一步，画出平面直角坐标系；第二步，画出直线方程5X + 6Y = 30，其横截距为6，纵截距为5 。因为满足该不等式，所以区域在直线的左下方。
接着看问题，二元一次不等式组表示什么图形？请画出5X + 6y ≤ 30，y ≤ 3x，y ≥ 1表示的平面区域。
由昨天的学习可知，每个不等式的解集都可表示一个平面区域，满足不等式组的解集则表示这些平面区域的公共区域，注意是否包含边界直线。接下来，我们画出这个不等式组对应的平面区域。
第一步，直线5X + 6Y = 30，区域在直线左下方；第二条直线y = 3x，将(6,0)点代入，0 ≤ 18，满足不等式，所以区域在直线右下方；第三条直线y = 1，区域在直线上方。三个平面区域取公共部分，得到如图所示的三角形平面区域。
问题3：设x，y满足不等式组5X + 6y ≤ 30，y ≤ 3x，y ≥ 1，求z = 2X + y的最小值和最大值。这个问题是在前面问题的基础上提出的，也是我们这节课要学习的内容。
设x，y满足不等式组，求z = 2X + y的最值。回想我们之前在必修一学习过求函数的最值，要求函数f(X)的最值，需先确定自变量X的取值范围，即定义域。
那么这道题中，要想求z的最值，x和y的范围是什么呢？问题1：z = 2X + y中的x，y对应的点(x，y)必须满足什么条件？题目第一句话就告诉我们，x，y满足不等式组，而这个不等式组表示的平面区域我们之前已画出，是三角形ABC，也就是说，题中的x，y对应的点应在三角形平面区域中。
了解这个问题后，我们知道该问题可转化为：当点(x，y)在公共平面区域中时，求z = 2X + y的最小值和最大值。
了解问题实质后，接下来讨论当点(x，y)在整个坐标平面上变化时，z = 2X + y值的变化规律。我们可以先从z取不同数值下手研究，比如当z = -3、 -1、0、2、4时，对应5条不同的直线，我们将这五条直线画在平面直角坐标系中。
第一条直线2X + y = -3，横截距 -3/2，纵截距 -3；第二条直线2X + y = -1，横截距 -1/2，纵截距 -1；第三条直线2X + y = 0；第四条直线2X + y = 2，横截距1，纵截距2；第五条直线2X + y = 4，横截距2，纵截距4。
观察这五条直线，我们发现它们相互平行，且z的变化规律是自下而上，z逐渐增大；自上而下，z逐渐减小。也就是说，如果我们平移L?（2X + y = 0这条直线），直线向上平移，z增大；向下平移，z减小。
知道z的变化规律后，如何根据z的变化特点求最值呢？因为直线向上平移z增大，且z = 2X + y中的x，y需满足在三角形区域中，所以我们将L?放置在平面直角坐标系中，发现它在三角形区域下方，只有向上平移才会和三角形区域有公共点。又因为向上平移z逐渐增大，所以在动态过程中，z向上平移先交于顶点B，最后相交于顶点C。因此，z在B点处有最小值，在C点处有最大值。
确定z取最值的位置后，接下来求B、C两点的坐标。从图上看，B点是直线y = 3x与y = 1的交点，C点是直线5x + 6Y = 30和y = 1的交点。交点坐标可通过解方程组得到。
解方程组$\begin{cases}y = 3x\y = 1\end{cases}$，求得B点坐标为$(\frac{1}{3},1)$，将B点坐标代入z = 2X + y中，求出z最小值为$2\times\frac{1}{3} + 1 = \frac{5}{3}$。
解方程组$\begin{cases}5X + 6Y = 30\y = 1\end{cases}$，求得C点坐标为$(\frac{24}{5},1)$，将C点坐标代入z = 2X + y中，求出z最大值为$2\times\frac{24}{5} + 1 = \frac{53}{5}$。
回忆这题的解决过程：首先画出二元一次不等式组表示的平面区域，注意实线虚线；第二步，当z取不同数值时，在平面坐标系内画出对应的直线，观察出向上平移z增大，向下平移z减小的规律，平移其中一条直线与平面区域相交，找到在B处z最小，在C处z最大；第三步，解方程组求出最优解；第四步，将最优解代入目标函数做出答案。
通过这道例题，我们学习了新的解题步骤，还学习了一些新的数学知识。在这个实例中，如果x，y满足一次不等式组，求关于x，y二元一次线性函数的最小值和最大值。在这里，我们称关于x，y的二元一次线性函数z = 2X + y为目标函数，称不等式组为约束条件。目标函数在约束条件下求最小值或最大值的问题，叫做二元线性规划问题，这就是我们这节课的课题——简单线性规划。其中，满足约束条件的解(x，y)称为可行解，由所有可行解组成的区域称为可行域。
在这个实例中，可行域是三角形ABC，可行解B点$(\frac{1}{3},1)$和C点$(\frac{24}{5},1)$分别使目标函数z有最小值和最大值，我们称B点和C点为最优解。