师：大家好，今天由我带领大家一起学习三角形中的几何计算。这节课是在我们学习过正弦定理和余弦定理之后，利用这两个定理来解决三角形中的几何计算问题。首先，我们来回顾一下前几节的内容。
正弦定理：三角形任意边与其所对角的正弦值比值都相等，都等于其外接圆半径的两倍。它有两个重要变形：
边化角：三角形任意边可以用其所对角的正弦与外接圆半径乘积的两倍表示。
角化边：三角形任意角的正弦可以利用其所对边与外接圆直径的商表示。这两个变形主要用于边角互化。
余弦定理：三角形任意一边的平方等于其余两边平方和减去这两边与其所夹角余弦值乘积的二倍。其表达式如下。当然，余弦定理也可以推出三角形任意角的余弦值，比如(\cos A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2bc})，同理，(\cos B)、(\cos C)也能如此表示。
另外，我们还学习了与边角有关的面积公式，三角形的面积等于任意两边与其所夹角正弦值乘积的(\frac{1}{2})。三角形中有三条边和三个角，知道其中任意三个条件（除三个角外），都可以求出其他的边和角。
下面请大家思考，对一个三角形给定其中三个独立条件的情况有哪几种呢？有以下四种：
已知两角及一边。
已知两边及一边所对角。
已知两边及夹角。
已知三边。
我们接着思考，回忆以上几种情况中，哪些比较适合用正弦或余弦定理来解决呢？
第一种模型，已知两角及一边，可用正弦定理解决。
第二种模型，已知两边及一边对角，正弦、余弦定理皆可，注意有可能会出现多解情况。
第三种模型，已知两边及夹角，可用余弦定理解决。
第四种模型，已知三边，可用余弦定理解决。
通过刚才的回顾，正弦定理和余弦定理以及它们所适用的四种模型，大家不仅要熟练掌握，而且要能够灵活应用在解决问题当中。接下来，我们从例子当中体会正弦定理和余弦定理的应用。
请大家看例一，如图所示，在梯形(ABCD)中，(AD)平行于(BC)，(AB = 5)，(AC = 9)，(\angle BCA = 30^{\circ})，(\angle ABD = 45^{\circ})。求(BD)的长。
读完题之后，请大家思考下面问题：本题所求的(BD)放在哪个三角形中最容易计算呢？我们来观察(BD)所在的三角形，分别是(\triangle ABD)和(\triangle CBD)。在(\triangle ABD)中已知一边和一角，(\triangle CBD)有一个隐含条件，即(\angle DBC)与(\angle ABD)是内错角，二者相等，所以(\triangle CBD)只知道一个角的条件。那么同学们该如何选择哪个三角形计算(BD)呢？很明显，选择条件比较多的，这也是我们以后解三角形的基本思路。
接着看问题二，在这个三角形中欲求(BD)还需要知道哪些条件呢？我们知道，对一个三角形而言，必须要知道三个独立条件才能求解。在(\triangle ABD)中已知一边和一角，另外还有一个所求的边(BD)，就剩下一边(AD)和两角(\angle ABD)与(\angle DAB)。我们把剩下这三个条件跟题目中的已知两个条件进行配对，看哪种情况能够解出这个三角形。
首先看(AD)边与已知的两个条件进行配对，在(\triangle ABD)中就形成了两边及一边所对角模型，那么(AD)边能够求解出来吗？根据题意，(AD)边求不出来。我们再看(\angle ABD)这个小角与题目中两个条件进行配凑，形成了两角一边的模型，(\angle ABD)能求出来吗？很明显，根据题意也求不出来。现在就剩下(\angle BAD)了，它与题目中两个条件进行配对，形成了两角一边的模型，(\angle BAD)可求吗？我们根据题目条件，因为(AD)平行于(BC)，所以(\angle BAD)与(\angle ABC)互补。我们再来观察(\angle ABC)所在的(\triangle ABC)，它知道(AB)边、(AC)边和(\angle ACB)，是两边及一边所对角模型，我们可以求出(\angle ABC)，进而可以解决(BD)长的问题。
好，通过刚才的分析，我们就形成了如下思路。首先在(\triangle ABC)中，用正弦定理求出(\angle ABC)。根据(AD)平行于(BC)，求解出(\angle BAD)。然后在(\triangle ABD)中，已知两角一边，利用正弦定理求(BD)的长。下面通过我们的分析，来具体看一下解答过程。
首先在(\triangle ABC)中，列出条件，利用正弦定理列出等式(\frac{AB}{\sin\angle BAC} = \frac{AC}{\sin\angle ABC})。带入题目条件(AB)、(AC)、(\angle BCA)的值，我们直接可以求出(\sin\angle ABC = \frac{9}{10})，虽然这个角度无法直接表示，但没关系。因为(AD)平行于(BC)，(\angle BAD)与(\angle ABC)互补，所以它们的正弦值相等，可推出(\sin\angle BAD = \frac{9}{10})。这样在(\triangle ABD)中就出现了三个条件，两角一边，利用正弦定理(\frac{BD}{\sin\angle BAD} = \frac{AB}{\sin45^{\circ}})，就可以求出(BD)的长为(\frac{9}{2}\sqrt{2})，作答即可。
刚才我们在分析和解答过程中，在两个三角形中两次运用到正弦定理，进而转化量来进行求解。同学们想一下，还有没有其他方法呢？这个题如果放在初中，大家想到什么方法了？在书中对应的这样图形，一般是构造特殊的直角三角形来进行解决。题目中有直角三角形吗？没有，那么我们可以进行构造，分别过点(A)和点(D)作(BC)的垂线(AE)和(DF)，观察这个图形里面有没有特殊的直角三角形呢？
好，我们来看一下。首先(\triangle AEC)是一个特殊的直角三角形，斜边长(9)，(\angle ACE = 30^{\circ})。然后，因为(\angle ADB = 45^{\circ})，所以(\angle DBF = 45^{\circ})，那么(\triangle DBF)就是一个等腰直角三角形。我们所求的(BD)在(\triangle DBF)中可以转化成(\sqrt{2})倍的(DF)，且(DF = AE)，在(\triangle AEC)中可以求出(AE)，这样(BD)就在两个三角形中得以解决。下面我们具体来看一下过程。
首先作图，然后根据(AD)平行于(BC)，可得(\angle ADB = \angle DBF)，所以(\triangle DBF)是等腰直角三角形，可得到(BD = \sqrt{2}DF)，因为(DF = AE)，所以(BD = \sqrt{2}AE)。在(\triangle AEC)中，(AC = 9)，(\angle ACB = 30^{\circ})，这样我们求出(AE = \frac{1}{2}AC = \frac{9}{2})，进而(BD)解得与前面一样，答案为(\frac{9}{2}\sqrt{2})。
刚才我们是利用平面几何的知识来解决这个问题。在解决过程中能否发现题目中好像有个条件没有用到，观察出来了吗？是(AB = 5)没有用到，那么是题目条件给多了，还是我们错了呢？很明显我们算的答案跟前面一样。那我们就要思考下面问题，如果题目中条件把(AB = 5)去掉，能否再利用解三角形的方法来求出(BD)的长呢？
接下来我们把这个题目进行改编，去掉(AB = 5)这个条件，来看一下能否利用正余弦定理来求(BD)长。
首先我们还是分析一下(BD)所在的(\triangle ABD)，它知道一个条件就是(45^{\circ})。剩下题目中两个条件在(\triangle ABC)中，是一边一角。大家回忆一下刚才例一的第一种方法，是不是也是在这两个三角形中分别利用正弦定理来求(BD)长呢？虽然这个题没有(AB)长了，但再来分析下这两个三角形还有什么相关条件呢。通过题目(AD)平行于(BC)，这两个三角形中分别还有两个角互补，这也是前面提到过的条件。另外这两个三角形还有公共边。