师：好，同学们，大家好。今天我们来学习数列的函数特性。首先，我们复习一下上节课所学的内容。上节课我们学习了数列的定义，它是按照一定次序排列的一列数，与顺序密切相关。接着，我们学习了数列的表示，这里要强调，({a_{n}})和(a_{n})表示两个不同的概念。({a_{n}})表示整个数列，而(a_{n})表示数列的第(n)项。
然后，我们讲了数列的通项公式。数列的第(n)项(a_{n})与(n)之间的关系，可以用一个表达式来表示，这就建立了(a_{n})和(n)之间的联系。前面我们分析过，给定一个(n)，就有唯一的(a_{n})与之对应，这正好符合函数的概念。所以，我们可以把数列看成是一种特殊的函数。那它特殊在哪里呢？讲到函数，我们必然要分析它的定义域、值域以及单调性等。既然把数列看成函数，这里的(n)就相当于定义域。(n)的取值范围比较特殊，它是正整数集或其某个子集，而且这个子集只能从(1,2,3)开始。由于定义域特殊，所以它的值域是一些孤立的值。又因为定义域是正整数集或其子集，所以数列的图像是一些孤立的点，这就是数列的函数特性。我们来举例看看。
数列可以用通项公式表示，通项公式就相当于函数的解析式。我们前面学习函数时有列表、图像和解析式三种表示形式，数列同样也可以用表格的形式展现。比如，若(a_{n}=n + 2)，当(n = 1)时，(a_{1}=3)；当(n = 2)时，(a_{2}=4)，这样就可以用表格罗列出来。同样，也能用图像表示，当(n = 1)时对应的是(3)，(n = 2)时对应的是(4)。再比如，(b_{n}=\frac{1}{n})，用解析式表示后，也能用图像表示。当(n = 1)时是(1)，(n = 2)时是(\frac{1}{2})，这些都是由孤立的点构成。
大家看这些孤立的点，第一组孤立的点是不是分布在一条直线上？大家能想到是哪条直线吗？对，就是(y = x + 2)。因为(a_{n}=n + 2)，相当于(f(n)=n + 2)，也就对应(y = x + 2)这个函数。同样类比，第二组孤立的点应该分布在哪条曲线上呢？(y=\frac{1}{x})。所以，当我们研究数列时，可以思考它对应的原函数是哪个，从函数的角度去研究数列。
既然讲到函数，我们就会想到函数的单调性，那数列有没有类似的性质呢？数列有增减性。一般地，如果数列({a_{n}})从第二项起，每一项都大于它的前一项，即(a_{n + 1} > a_{n})，那么我们就把这个数列叫做递增数列。这里(a_{n + 1} > a_{n})对(n\in N^{*})都成立。比如(n = 1)时，(a_{2} > a_{1})；(n = 2)时，(a_{3} > a_{2})，依次下去，(a_{1} < a_{2} < a_{3}\cdots)，这就是递增数列，它和函数的单调性有所不同。
生：老师，我习惯用(a_{n})和它的前一项比较，如果用(a_{n} > a_{n - 1})，此时(n)的取值范围是什么呢？还是(n\in N^{*})吗？
师：不是的，因为这里出现了(a_{n - 1})项，(n)暗含的条件是必须大于等于(2)，如果(n = 1)，就出现(a_{0})了，而数列的第一项是(a_{1})。所以强调，如果写成(a_{n + 1} > a_{n})，(n\in N^{})；如果写成(a_{n} > a_{n - 1})，(n\geq2)且(n\in N^{})。我们通过比较相邻两项的大小关系来判断数列的增减性。类比递增数列，我们有递减数列。如果一个数列从第二项起，每一项都小于它的前一项，即(a_{n + 1} < a_{n})，我们就称它为递减数列。同样，如果数列的各项都相等，那么这个数列就是常数列。若数列的项有时大有时小，这种数列称为摆动数列。我们可以从数的角度，通过比较相邻两项的大小关系来研究数列的增减性。
结合刚刚讲的图像，我们能不能从形的角度对数列的增减性进行研究呢？如果知道数列所对应的函数的单调性，是不是就可以从形的角度去理解呢？下面我们来看两个例子。
第一个例子，判断无穷数列(2,1,0\cdots)的增减性，它的通项公式是(a_{n}=3 - n)。根据定义，我们可以从数和形两个角度判断。从数的角度，设(a_{n}=3 - n)，则(a_{n + 1}=3 - (n + 1)=2 - n)。比较(a_{n + 1})与(a_{n})的大小关系，做差可得(a_{n + 1} - a_{n}=(2 - n)-(3 - n)= - 1 < 0)，对所有(n)都成立，所以(a_{n + 1} < a_{n})，该数列是递减数列。从形的角度，当看到(a_{n}=3 - n)时，会想到对应的函数(y = 3 - x)，这个函数是递减函数，所以数列对应的这些孤立的点也是递减的。所以解决这类数列的增减性问题，可以从数和形两个方面尝试。
第二个例子，已知数列第一项是(\frac{1}{2})，第二项是(\frac{2}{3})，第(n)项是(\frac{n}{n + 1})，求其增减性。设(b_{n}=\frac{n}{n + 1})，则(b_{n + 1}=\frac{n + 1}{(n + 1) + 1}=\frac{n + 1}{n + 2})。(b_{n + 1} - b_{n}=\frac{n + 1}{n + 2}-\frac{n}{n + 1})，通分可得(\frac{(n + 1)^{2}-n(n + 2)}{(n + 1)(n + 2)}=\frac{n^{2}+2n + 1 - n^{2}-2n}{(n + 1)(n + 2)}=\frac{1}{(n + 1)(n + 2)}>0)，所以(b_{n + 1} > b_{n})，该数列是递增数列。从形的角度，看到数列的通项公式会想到函数(y=\frac{x}{x + 1})，对其变形(f(x)=\frac{x}{x + 1}=1 - \frac{1}{x + 1})。因为(\frac{1}{x + 1})单调递减，前面加负号变为递增，再加(1)不影响单调性，所以函数(f(x))在((-\infty, - 1))和(( - 1, +\infty))上都是递减的，但我们只取正整数，即(1)到(+\infty)这个范围，所以它在([1, +\infty))上是增的，对应的数列也是增的。大家可以做个小练习：(a_{n}=2\times(\frac{1}{5})^{n})，判断这个数列的增减性。
可以通过找相邻两项(a_{n + 1})和(a_{n})，选择做差变形。(a_{n + 1}=2\times(\frac{1}{5})^{n + 1})，做差(a_{n + 1} - a_{n}=2\times(\frac{1}{5})^{n + 1}-2\times(\frac{1}{5})^{n})，提取公因式((\frac{1}{5})^{n})得((\frac{1}{5})^{n}(2\times\frac{1}{5}-2)=-\frac{8}{5}\times(\frac{1}{5})^{n})。因为(-\frac{8}{5}<0)，((\frac{1}{5})^{n}>0)，所以相乘小于(0)，该数列是递减数列。从形的角度，会想到(y = 2\times(\frac{1}{5})^{x})，由于((\frac{1}{5})^{x})是递减的，前面系数(2)是正的，所以相乘还是递减函数，对应的数列也是递减数列。这一题我们从数与形两个角度进行了分析。但有些函数对应的图像不容易做出，此时只能从数的角度分析，比如(a_{n}=(n + 1)+\frac{(-1)^{n}(n - 1)}{2})，这里出现(( - 1)^{n})，一般要对(n)分奇偶讨论。当(n)为奇数时，(( - 1)^{n}=-1)，(a_{n}=(n + 1)-\frac{n - 1}{2}=\frac{2n + 2 - n + 1}{2}=\frac{n + 3}{2})；当(n)为偶数时，(( - 1)^{n}=1)，(a_{n}=(n + 1)+\frac{n - 1}{2}=\frac{2n + 2 + n - 1}{2}=\frac{3n + 1}{2})。结果发现该数列既不是递增也不是递减的。
我们再来看，如果数列(a_{n}=n^{2}-7n)，要求它的最小项，怎么求呢？求数列的最值关键看它的增减性，而判断增减性就要找相邻两项的关系。(a_{n + 1}-a_{n}=(n + 1)^{2}-7(n + 1)-(n^{2}-7n))，展开化简得(2n - 6)。令(2n - 6 > 0)，解得(n > 3)。这意味着当(n\geq4)时，(a_{n + 1} > a_{n})，从第四项起数列递增；当(n\leq3)时，数列递减。所以在(3)和(4)附近可能取到最小值。计算(a_{3}=3^{2}-7\times3 = - 12)，(a_{4}=4^{2}-7\times4 = - 12)，发现第三项和第四项相等且同时取到最小值。从形的角度，如果能想到对应的二次函数(y = x^{2}-7x)，其对称轴为(x = \frac{7}{2})。因为(n)是正整数，(\frac{7}{2})取不到，而(3)和(4)距离对称轴(\frac{7}{2})最近且关于对称轴对称，所以在(3)和(4)处同时取到最小值。
如果把式子变为(a_{n}=2n^{2}-13n)，其对称轴是(x = \frac{13}{4})，距离整数(3)最近，所以它在(n = 3)这点取到最小值，把(n = 3)代入可算出最小项的值。
这里有个变式，数列(a_{n}=n^{2}-\lambda n)，如果它是递增的，求(\lambda)的取值范围。从数的角度，要保证递增，即(a_{n + 1}-a_{n}>0)恒成立，(n\in N^{})。(a_{n + 1}-a_{n}=(n + 1)^{2}-\lambda(n + 1)-(n^{2}-\lambda n))，化简得(2n + 1-\lambda)。所以(2n + 1-\lambda>0)恒成立，即(\lambda < 2n + 1)对任意(n\in N^{})恒成立。因为(2n + 1)是递增数列，(n = 1)时取到最小值(3)，所以(\lambda < 3)。从形的角度，对应的二次函数对称轴为(x = \frac{\lambda}{2})。要保证数列递增，对称轴应满足(\frac{\lambda}{2}<\frac{3}{2})，即(\lambda < 3)。
练习(2)，(a_{n}=\frac{n}{n - 5.4})，求这个数列的最大和最小项分别是哪一项？从形的角度，会想到对应的函数(y = \frac{x}{x - 5.4})，对其变形(a_{n}=1 + \frac{5.4}{n - 5.4})。这个函数由反比例函数变化而来，分两段，当(x < 5.4)时，函数递减且值小于(1)；当(x > 5.4)时，函数也递减且值大于(1)。结合图像，在(1)到(5)之间函数递减且都在(y = 1)下方，所以在(n = 5)时取到最小；当(n > 6)时，函数递减且都大于(1)，所以在(n = 6)时取到最大。从数的角度也可以尝试，但用形的角度解决相对方便。总之，判断数列的增减性或求最值，可以从数和形两个方向去解决，具体哪种方法合适，需要大家自己判断。
本节课我们学习了数列的函数特性，特别强调数列可以看成是一种特殊的函数，特殊在于其定义域是正整数集或其子集，图像由一些孤立的点构成。这里要注意数形结合思想，以及体会与函数对比的思想。今天的课就上到这里，谢谢大家。