师：同学们好，很高兴今天和大家一起继续学习本章第三节解三角形的实际应用举例。通过前面的学习，我们知道在解决实际问题时，经常会涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题，并探究了如何利用正弦定理、余弦定理解决不可到达的实际测量问题，这些都是距离问题，也就是求三角形中未知边长的问题。这节课我们将继续探讨利用正弦定理、余弦定理解决与三角形有关的实际问题。在开始新课之前，请同学们做好知识储备，我们共同回顾正弦定理、余弦定理以及用它们能解决怎样的解三角形问题。
首先，回顾正弦定理以及它直接的公式变形，接着回顾余弦定理以及它直接的公式变形。同学们也可以在脑海中回顾其他的公式变形式。那么，我们能用正弦定理、余弦定理解决怎样的问题呢？
正弦定理可以用于解决以下两类问题：一、已知两角和一边，求其他边和角；二、已知两边和其中一边的对角，求其他边和角。当然，这类问题也可以用余弦定理解决。
余弦定理常用于解决以下几类问题：一、已知两边和它们的夹角，求其它边和角；二、已知三边，求三个角；三、就是上面提到的已知两边和其中一边的对角，求其他边和角。同学们在进行这些知识要点回顾的时候，如果能够再把我们前面讲过的典型例题联系起来，那么你的知识储备将更加充分。
下面我们来看这样一个例题。如下图是曲柄连杆机构的示意图，请同学们先快速、认真地阅读题目。
为了更好地帮助大家了解曲柄连杆机构运动，请同学们观看下面视频。当曲柄 CB 绕点 C 旋转时，通过连杆 AB 的传递，活塞做直线往复运动。下面我们一起来看一看题目中已知条件。当曲柄在 CB?位置时，曲柄和连杆成一条直线，连杆的端点 A 在 A?处。题中给出连杆和曲柄的长分别为 l 和 r 毫米，并且 l 大于 r。
问题一：当曲柄自 CB?按顺时针方向旋转角为 θ 时，其中 θ 大于等于 0 度，小于 360 度，求活塞移动的距离，即连杆的端点 A 移动的距离 A?A。
问题二：当 l = 340 毫米，r = 85 毫米，θ = 80 度时，求 A?A 的长，结果精确到 1 毫米。
显然，如果我们能把第一个问题解决，那么问题二就迎刃而解。那么活塞移动的距离 A?A 该如何去求呢？在解决这个问题之前，我们先思考以下几个问题。
问题一：如何从这个实际问题中抽象出几何图形？大家观察示意图，再结合刚才看的视频考虑，如果把曲柄和连杆抽象成线段，曲柄绕点 C 旋转一周所形成的曲线就是以点 C 为圆心，BC 的长为半径的圆，这样我们就可以抽象出几何图形。
问题二：结合几何图形，活塞移动的距离如何表示？通过观察图形，我们很容易得到活塞移动的距离 A?A 应该等于 A?C - AC。那么问题接着就转化成了如何去求 A?C 和 AC。我们观察示意图一，这是曲柄在 CB?的位置，通过这个示意图我们不难得到 A?C 就应该等于曲柄和连杆的长之和，也就是等于 l + r。
问题进一步转化成为如何去求 AC 的长。通过前面的学习，我们知道可以把 AC 长的求法放在三角形 ABC 当中。我们接着分析，在三角形 ABC 中，我们知道哪些边和角的条件呢？首先 AB = l，BC = r，∠ACB = θ，求 AC 这个问题就转化成了在三角形 ABC 中已知两边以及其中一边所对的角求第三边的问题。我们知道这样的问题既可以通过正弦定理，也可以通过余弦定理解决。请同学们先思考，如果用余弦定理该怎么去求呢？
生：可以设 AC 的长为 x，在三角形 ACB 中，利用与角 θ 有关的余弦定理列出关于 AC 长的方程，解方程即可求出 AC 的长。
师：这个问题我们解决了吗？细心的同学发现并没有。因为题目中给出的 θ 范围是大于等于 0 度小于 360 度，而我们这只解决了 θ 大于 0 度小于 180 度的情况。所以请同学们思考，若 θ = 0 度，θ = 180 度，θ 大于 180 度小于 360 度时，A?A 的长又该怎样求？观察示意图一，它所体现的就是 θ = 0 度的位置状态，此时活塞移动距离 A?A = 0。观察示意图三，不难得到这是 θ = 180 度的情况，此时的 A?A 应该等于 2r 毫米。再观察示意图 4，这时 θ 大于 180 度小于 360 度的情况。我们可以发现旋转的角 θ 与角 ACB 之和是 360 度，我们就可以利用对称关系将 θ 大于 0 度小于 180 度求出的表达式中 θ 改成 360 度 - θ 即可。
下面我们来看一看解题过程。首先设 AC = x，对于 θ = 0 度和 θ = 180 度要提出说明。接着，若 θ 大于 0 度，小于 180 度，在三角形 ABC 中由余弦定理，可得一个关于 AC 长的方程，整理后即得一个关于 x 的一元二次方程。我们可以利用求根公式求出方程的根，解得 x?、x?。但在实际问题中，我们需要关注所设量的实际意义。
此处 x 表示的是 AC 的长，应该是一个正值，那么这两个根都是正根吗？由于题目中条件告诉我们 l 大于 r，所以 l2 - r2 应该大于 0。这样根号下 r2cos2θ + l2 - r2 就应该大于 |r cosθ|。我们由此判断 x? 为正根，x? 为负根，不符合题意，应舍去。当然，我们也可以借助韦达定理，可以看到两根之积等于 -（l2 - r2），这是一个负值，所以两根异号，而 x? 是较大的根，x? 是较小的根，也能判断出 x? 为负根，应舍去。另外保留的根 x? 还可以用我们前面学过的基本关系式中的平方关系，把它由 x? = r cosθ + √(r2cos2θ + l2 - r2) 整理成 x? = r cosθ + √(l2 - r2sin2θ) 毫米。接着我们代入 A?A = A?C - AC = (AB + BC) - AC 求得 A?A = l + r - r cosθ - √(l2 - r2sin2θ) 毫米。若 θ 大于 180 度，小于 360 度，可根据对称性将上式中的 θ 改成 360 度 - θ 即可得到 A?A 的表达式。
我们发现这个表达式与前面的表达式是一样的，而且请同学们注意，如果把这个表达式当中的 θ 换成 0 度，大家求一求 A?A 等于什么呢？
生：A?A = 0。
师：同学们再把 θ 换成 180 度，A?A 又等于什么呢？
生：此时 A?A = 2r 毫米。
师：也就是说这个表达式对于 θ = 0 度和 θ = 180 度依然适用。