师：今天我们来学习数列的前n项和第二课时。首先，回顾一下前几节课所学知识点：一是等比数列的定义，二是等比数列的通项公式，三是等比数列的前n项和公式。等比数列的定义是，如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。同学们，能把这个文字语言转化成符号语言吗？可以用$a_n\div a_{n - 1}=q$（这里$n\geq2$），或者$a_{n + 1}\div a_n = q$。这种符号表达是判断或证明数列${a_n}$为等比数列最常用的方法。等比数列的通项公式为$a_n = a_1\times q^{n - 1}$。
等比数列的前n项和公式是上节课刚学的，同学们先写一写。在运用等比数列前n项和公式时，一定要注意讨论$q$是否等于1，这里涉及分类讨论的数学思想。观察上面这些公式和定义，其中涉及5个基本量：$a_1$、$q$、$n$、$a_n$、$S_n$。一般知道三个量就能求出另外两个基本量，不仅要熟练记忆公式，还应能应用到解题中。下面，我们做个题试一试。
已知$S_n = 1 + a + a^2 + \cdots + a^{n - 1}$，这个数列求和含有字母$a$。在解决含字母的数学问题时，经常要分类讨论，这题该怎么讨论呢？来看数列特征，第二项比第一项$a\div1 = a$，第三项比第二项$a^2\div a = a$，后一项比前一项都等于$a$。但要注意，$a$不能等于0，$a = 0$时，它不是等比数列，$a\neq0$时，它才是等比数列。所以把$a$分成两大类：$a = 0$和$a\neq0$。当$a = 0$时，这个数列就简单了，$S_n = 1 + 0 + \cdots + 0 = 1$。当$a\neq0$时，它是等比数列，公比是$a$。使用等比数列求和公式时，还要对$a$是否等于1进行讨论。当$a = 1$时，$S_n$就是常数列1的和，有$n$个1，$S_n = n$。当$a\neq0$且$a\neq1$时，根据等比数列求和公式$S_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，这里$q = a$，代入可得$S_n = \frac{1\times(1 - a^n)}{1 - a}$。
同学们，解决这个问题时，分类标准的界定很重要。数列不仅在解题中会出现，从古至今在实际生活中也有重要作用。给同学们介绍一本古代数学名著《九章算法比类大全》，它是我国明代数学家吴敬所著，成书于1450年。吴敬因会算、能算、善算而闻名，对我国古算的普及和应用发挥了重要作用。在《九章算法比类大全》中有这样一道著名试题。
“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯。”同学们，这首古诗的前三句展现了美丽夜景，最后一句把它变成了数学问题，能用数学知识求出答案吗？大家思考一下。共同分析，“红光点点倍加增”说明灯从上到下形成等比数列，公比$q = 2$；“七层”则$n = 7$；“共灯三百八十一”即$S_7 = 381$。这样就把实际问题通过数学建模转化成已知等比数列${a_n}$，公比$q = 2$，$n = 7$，$S_7 = 381$，求$a_1$。
下面分析具体解答过程。设尖头有$a_1$盏灯，由题意得，由上而下每层灯数构成公比为2的等比数列。$S_7 = \frac{a_1(1 - q^7)}{1 - q}$，这里$q = 2$，即$381 = \frac{a_1(1 - 2^7)}{1 - 2}$，通过这个方程解得$a_1 = 3$，故尖头有3盏灯。同学们看，这是把实际问题通过数学建模建立起等比数列求和模型，再利用等比数列前n项和公式解答。教材上也有两个实际应用，来看书上的例7，同学们先认真读题，思考怎么处理。
一个热气球在第一分钟上升了25米高度，在以后每一分钟里，它上升的高度都是前一分钟上升高度的80%。这说明热气球每分钟上升的高度构成等比数列${a_n}$。通过题干找基本量，$a_1 = 25$，$q = 0.8$。利用这些基本量，就能求出$S_n$，再把$S_n$和125比较，就知道热气球上升高度能否超过125米，从而解决实际问题。同学们按照这种分析思路，试试具体解答过程。
解：用$a_n$表示热气球在第n分钟上升的高度。由题意得$a_{n + 1} = 0.8a_n$，所以数列${a_n}$是首项$a_1 = 25$，公比$q = 0.8$的等比数列。热气球在n分钟上升的总高度$S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n = \frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}$，这里$a_1 = 25$，$q = 0.8$，代入化简得$S_n = 125\times(1 - 0.8^n)$。我们需要把这个结果和125比较，$0.8^n > 0$，所以$1 - 0.8^n < 1$，再乘125，结果小于125。作答：这个热气球上升的高度不可能超过125米。
同学们，看整体解题思路，这题是把实际问题通过数学建模转化成等比数列求和，根据公式得出答案。按照这种方法，再来试试书上的例8。
如图，做边长为$a$的正三角形的内切圆，在这个圆内做内切正三角形，然后再做新三角形的内切圆，如此下去，求出前n个内切圆的面积和。把第一个正三角形三个顶点标成A、B、C，第二个标成E、F、M。连接OC、OM，因为第一个三角形边长为$a$，那么$CM = \frac{1}{2}a$。观察可得，第一个正三角形边长$BC = a$，第二个正三角形边长$EF$是第一个正三角形边长的$\frac{1}{2}$，即$EF = \frac{1}{2}a$。以此类推，第$n + 1$个正三角形的边长是第$n$个正三角形边长的$\frac{1}{2}$。
再看每一个正三角形内切圆的半径关系。在直角三角形OCM中，$\tan\angle OCM = \frac{OM}{CM}$，即每一个正三角形内切圆的半径和它边长的一半构成比值关系。所以第$n + 1$个正三角形内切圆的半径是第$n$个正三角形内切圆半径的$\frac{1}{2}$。设第$n + 1$个正三角形内切圆半径为$r_{n + 1}$，则$r_{n + 1} = \frac{1}{2}r_n$，构成等比数列。此时求出基本量$r_1$、$q$、$r_n$，利用公式解决实际问题。同学们按照这种分析思路，试试具体解答过程。
解：设第n个正三角形的内切圆半径为$r_n$，因为从第二个正三角形开始，每一个正三角形的边长是前一个正三角形边长的$\frac{1}{2}$，每一个正三角形内切圆的半径也是前一个正三角形内切圆半径的$\frac{1}{2}$。$r_1 = \frac{1}{2}a\times\tan30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{6}a$，$r_2 = \frac{1}{2}r_1$，依次类推，$r_n = \frac{1}{2}r_{n - 1}$，所以数列${r_n}$是首项为$\frac{\sqrt{3}}{6}a$，公比为$\frac{1}{2}$的等比数列。则$r_n = r_1\times q^{n - 1} = \frac{\sqrt{3}}{6}a\times(\frac{1}{2})^{n - 1}$。设前n个内切圆的面积和为$S_n$，则$S_n = \pi\times r_1^2 + \pi\times r_2^2 + \cdots + \pi\times r_n^2$，把$r_n$代入可得$S_n = \pi\times(\frac{\sqrt{3}}{6}a)^2\times[1 + (\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^2 + \cdots + (\frac{1}{4})^{n - 1}]$，$1 + (\frac{1}{4}) + (\frac{1}{4})^2 + \cdots + (\frac{1}{4})^{n - 1}$构成等比数列的和，项数是从0到$n - 1$共$n$项。代入公式可得$S_n = \frac{\pi a^2}{9}\times(1 - \frac{1}{4^n})$。作答：前n个内切圆的面积和是$\frac{\pi a^2}{9}\times(1 - \frac{1}{4^n})$。这是和同学们共同研究的两个例题，下面来看两个练习检测一下。
第一题，求等比数列1，2，4，从第5项到第10项的和。解：由题意设等比数列为${a_n}$，首项$a_1 = 1$，$q = 2$，则$a_n = 2^{n - 1}$。从第5项到第10项的和为$a_5 + a_6 + \cdots + a_{10} = 2^4 + 2^5 + \cdots + 2^9$。观察发现，$2^4$到$2^9$又构成一个等比数列，首项是$2^4$，$q = 2$，项数是6。根据等比数列求和公式，$S = \frac{2^4\times(1 - 2^6)}{1 - 2} = 2^{10} - 2^4 = 1008$。同学们，解决$a_5 + a_6 + \cdots + a_{10}$的过程还有其他方法吗？还可以转化成$S_{10} - S_4$，把$a_1 = 1$，$q = 2$代入，答案也是1008。下面看第二个练习。
一个小球从$a$高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的$\frac{2}{3}$，当它第五次着地时共经过多少米？第一次着地经过$a$米，弹起回到那个高度是$\frac{2}{3}a$再落地，所以从第一次着地到第二次经过了$\frac{2}{3}a\times2$米。第二次到第三次经过了$(\frac{2}{3})^2\times a\times2$米，依次类推，得到前五次着地的路程。具体解答过程如下：
解：由题意设小球当它第五次着地时一共经过$S$米。$S = a + \frac{2}{3}a\times2 + (\frac{2}{3})^2\times a\times2 + (\frac{2}{3})^3\times a\times2 + (\frac{2}{3})^4\times a\times2 = a + 2a\times(\frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^4)$，后面$\frac{2}{3} + (\frac{2}{3})^2 + (\frac{2}{3})^3 + (\frac{2}{3})^4$构成等比数列的和，代入公式化简得$S = \frac{341}{81}a$。
同学们，今天新课讲到这，下面小结一下。在解决实际问题时，要把实际问题转化成数学问题，文字语言转化为数学语言。实际问题要注重数学阅读，通过数学建模建立相应数学模型，利用数学知识解决问题，培养数学建模核心素养。在等比数列前n项和公式应用中，要学会方程、分类讨论、等价转化等重要数学思想方法，培养数学运算核心素养。给同学们留下几个课后探究。我们学习等比数列的定义、性质时类比了等差数列，在公差为$d$的等差数列${a_n}$中，$S_n$为前n项和，则$S_n$，$S_{2n} - S_n$，$S_{3n} - S_{2n}$等也为等差数列，公差为$n^2d$。等比数列的前n项和有什么类似结论呢？同学们可以回去探究，并用结论验证下面两个应用。除了用探究出的结论，还提供一种方法，即分层思想，把问题都转化成$a_1$和$q$，用等比数列前n项和的性质去解答。今天新课就上到这，同学们，再见。