师：同学们好，上一节课黄杰老师已经带领大家学习了简单线性规划，今天我们将一起学习线性规划的实际应用。首先，我们一起来回顾一下上节课的知识。
一、线性规划问题的相关概念。二元线性规划问题的概念是什么？目标函数、约束条件、可行解、可行域、最优解的概念分别是什么？如果两个变量x，y满足一组一次不等式，求这两个变量的一个线性函数的最大值或最小值，那么我们就称这个线性函数为目标函数，称一次不等式组为约束条件。像这样的问题叫做二元线性规划问题。在线性规划问题中，满足约束条件的解（x，y）称为可行解。由所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解。
二、求解线性规划问题的一般步骤：1. 画：根据约束条件画出可行域；2. 移：平移目标函数对应的直线，找到最优解对应的点；3. 求：解方程组求出最优解；4. 答：将最优解代入目标函数，做出答案。
线性规划在实际中有广泛应用，下面我们通过对两个实例的分析体会，利用线性规划的方法解决问题的过程。
请看例一，医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐。甲种原料每10克含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10克含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元。若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质，试问应如何使用甲、乙原料才能既满足营养又使费用最省？
首先，从题目的叙述我们不难看出，该决策的要求是在满足病人营养的条件下使费用最省。所以限制我们决策的条件就是要满足病人的营养，而目标就是费用最省。为了更加直观，我们将甲、乙两种原料每10克所含的营养成分及价格列成表格。其中每10克甲原料含蛋白质5单位，铁质10单位，售价3元；每10克乙原料含蛋白质7单位，铁质4单位，售价2元。为了保证病人的营养，使用甲、乙两种原料所含有的蛋白质总量不小于35单位，铁质总量不小于40单位。依此列出不等式。同时注意，甲、乙两种原料的用量都必须大于等于0，由此得到约束条件，再由甲、乙两种原料的价格列出总的费用，得到目标函数。借助线性规划问题的解决方法，就可以得出甲、乙两种原料的使用方案。
这里如果我们设甲、乙两种原料分别用x克和y克，则该营养餐所含的蛋白质总量为0.5x + 0.7y单位，铁质总量为x + 0.4y单位。多项式系数出现了小数，这势必增加后面解决问题的运算量。因此我们在设未知数的时候做一个处理。
解：设甲、乙两种原料分别用10x克和10y克，需要的费用为z元，则z = 3x + 2y。病人每餐至少需要35单位蛋白质可表示为5x + 7y ≥ 35；病人每餐至少需要40单位铁质可表示为10x + 4y ≥ 40。另外还有x ≥ 0，y ≥ 0。这样问题成为在约束条件5x + 7y ≥ 35，10x + 4y ≥ 40，x ≥ 0，y ≥ 0下求目标函数z = 3x + 2y的最小值。
做可行域。如图，在平面直角坐标系中分别作直线5x + 7y = 35和10x + 4y = 40。由不等式组可知平面区域包括边界，因此直线画成实线。可以判断不等式5x + 7y ≥ 35，表示直线5x + 7y = 35上方的平面区域（包括直线）；不等式10x + 4y ≥ 40，表示直线10x + 4y = 40上方的平面区域（包括直线）。两个不等式的公共区域，为图中紫色部分。由x ≥ 0，y ≥ 0，可知可行域为图中阴影部分。
令z = 0作直线L?：3x + 2y = 0，令z = 2作直线L?：3x + 2y = 2。由图形可知，当把直线L?向上平移时，所对应的z = 3x + 2y的函数值随之增加。所以直线L?平移至可行域的顶点A时，z取得最小值。由$\begin{cases}5x + 7y = 35 \ 10x + 4y = 40 \end{cases}$，得点A坐标为$(\frac{14}{5}, 3)$。
所以用甲种原料$10×\frac{14}{5} = 28$克，乙种原料$10×3 = 30$克，费用最省。
下面请看例2。某厂生产一种产品，其成本为27元每千克，售价为50元每千克。生产中每千克产品产生0.3立方米的污水，有两种排放方式：方式一，直接排入河流；方式二，经场内污水处理站处理后排入河流。但受污水处理站技术水平的限制，污水处理率只有85%。污水处理站最大处理能力是0.9立方米每小时，处理污水的成本是5元每立方米。另外，环保部门对排入河流的污水收费标准是17.6元每立方米，且允许该厂排入河流中污水的最大量是0.225立方米每小时。那么该厂应选择怎样的生产与排污方案，可使其每日净收益最大？
为了直观分析题目中的关键条件，我们做示意图。生产产品有成本，并会产生污水，销售产品可获得收入。产生的污水一部分直接排入河流，另一部分先经过污水处理站处理，再排入河流。产品的成本为27元每千克，售价为50元每千克。产品产生0.3立方米的污水，处理污水的成本为5元每立方米，污水处理率为85%。排入河流的污水收费标准是17.6元每立方米。而限制我们生产和排污方案的条件为污水处理站最大处理能力0.9立方米每小时，允许排入河流的污水最大量是0.225立方米每小时。
为了解决问题，首先要搞清楚是什么因素决定净收益，净收益等于售出产品的收入减去生产费用，其中生产费用包括生产成本、污水处理费、排污费等。
设该厂生产的产量为x千克每小时，直接排入河流的污水为y立方米每小时，净收益为z元，则：
售出产品的收入为50x元每小时；
产品成本为27x元每小时；
污水产生量为0.3x立方米每小时，污水处理量为0.3x - y立方米每小时，污水处理费为5(0.3x - y)元每小时；
污水未处理率为1 - 85% = 0.15，所以污水处理站处理后的污水排放量为0.15(0.3x - y)立方米每小时。环保部门要征收的排污费为17.6[0.15(0.3x - y) + y]元每小时；
目标函数为z = 50x - 27x - 5(0.3x - y) - 17.6[0.15(0.3x - y) + y]，化简得z = 20.708x - 9.96y。
需要考虑的约束条件是：
污水处理能力是有限的，即$0\leq0.3x - y\leq0.9$；