师：各位同学，大家好。上节课我们学习了正弦定理，即在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。并且初步学习了正弦定理可解决的两类解三角形问题：已知两角和任意一边解三角形，以及已知两边和其中一边的对角解三角形。今天我们将对上述问题做进一步讨论。
已知两角和任意一边解三角形，解的个数是唯一确定的。因为我们可以通过角边角或角角边判定三角形全等。而对于已知两边和其中一边的对角解三角形，由于无法运用边角判定三角形全等，所以解的个数可能不唯一。
问题一：由例2我们发现已知两边和其中一边的对角解三角形时会出现两解的情况，还会出现其他情况吗？接下来我们将对已知两边及其中一边的对角解三角形解的个数问题展开讨论。
1.1 在三角形中已知a边、b边以及a边的对角A角，判定解的个数。A角等于120度，是钝角，所以A角是三角形中最大角。由于大角对大边，所以a边必然是三角形中最长的边。然而此时a边小于b边，所以无解。把a边变长一些会怎样？a = 2，此时a边等于b边依然无解。事实上，由于等边对等角，既然a边等于b边，所以B角等于A角。但在一个三角形中，不可能有两个钝角，所以无解。把a边再变长一些，a = 3。因为(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B})，所以(\sin B = \frac{b}{a}\times\sin A)，代入数值，求得(\sin B)的值等于(\frac{\sqrt{3}}{3})。
那么B角是钝角还是锐角呢？显然B角只能是锐角，因为在一个三角形中不可能有两个钝角，所以只有一解。综上所述，A为钝角时，当a大于b时一解，当a小于等于b时，无解。
1.2 在三角形中，已知a边、b边以及a边的对角判定解的个数。因为A角是直角，直角是三角形中最大的角，由于大角对大边，所以a边必然是三角形中最长的边。然而此时a边小于b边，所以无解。把a边变长一些，a = 2。此时a边等于b边，仍然无解。事实上，由于等边对等角，a边等于b边，所以B角应该等于A角。但在一个三角形中不可能有两个直角，所以无解。把a边再变长一些，a = 3。同样由正弦定理可以求出(\sin B = \frac{b}{a}\times\sin A)，代入数值，求得(\sin B = \frac{2}{3})。那么B角是钝角还是锐角呢？显然B角只能是锐角，因为在一个三角形中不可能有一个直角，同时又有一个钝角，所以只有一解。
综上所述，A为直角时，当a大于b时一解，当a小于等于b时，无解。
1.3 在三角形中，已知a边、b边以及a边的对角判别解的个数。此时A角是锐角，a边大于b边。同样由正弦定理可以求出(\sin B = \frac{b}{a}\times\sin A)，代入数值，求得(\sin B)的值等于(\frac{1}{3})。
显然B角只能是锐角，因为三角形中大边对大角，既然b边小于a边，B角就应该小于A角，所以只有一解。把a边变短一些，a = 4。此时a边等于b边，只有一解。因为三角形中等边对等角，既然a边等于b边，所以B角只能等于A角，所以只有一解。所以A为锐角时，当a大于等于b时，一解。把a再变短一些，a = 1。
因为(\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B})，所以(\sin B = \frac{b}{a}\times\sin A)，代入数值，求得(\sin B)的值等于2，(\sin B)的值大于1了，想必大家都已经知道无解了。究其原因，(\sin B)的值大于1是因为分母a小于分子b乘以(\sin A)。如图所示，a边就是BC边，C点是定点，a边是定长，所以B点到C点的距离等于定长，B点应该在以C点为圆心，以a为半径的圆上，同时B点还应该在另一条射线上，所以B点应该是圆和射线的公共点，b乘以(\sin A)就是圆心到直线的距离。这是因为在直角三角形ACD中，(\sin A =\frac{对边h}{斜边b})，所以(h = b\times\sin A)。又因为a小于b乘以(\sin A)，所以圆和直线相离，圆和射线没有公共点，因此无解。所以A为锐角时，当a小于b乘以(\sin A)时，无解。把a变长一些，a = 2。一样的，由正弦定理我们可以求出(\sin B = 1)。
B角是直角，只有一解。(\sin B)的值等于1是因为分母a等于分子b乘以(\sin A)。如图，同样圆的半径是a，圆心到直线的距离是b乘以(\sin A)，圆和直线相切，圆和射线有唯一公共点，因此有一解。所以A为锐角时，当a等于b乘以(\sin A)时，一解。把a再变长一些，a = 3。一样的，由正弦定理，我们可以求出(\sin B)的值等于(\frac{2}{3})。此时B角可能是锐角，也可能是钝角，有两解。(\sin B)的值小于1是因为分母a大于b乘以(\sin A)，如图，圆的半径依然是a，圆心到直线的距离依然是b乘以(\sin A)，圆和直线相交，圆和射线有两个公共点。同时我们注意此时a小于b，所以当A为锐角时，当a大于b乘以(\sin A)而且小于b时有两解。
综合上述，我们可以得到如下结论：A为锐角时，当a等于b乘以(\sin A)或a大于等于b时一解；当a大于b乘以(\sin A)且小于b时两解；当a小于b乘以(\sin A)时，无解。A为钝角或直角时，a大于b一解，a小于等于b无解。
请看例题，四个选项都是已知两边及其中一边的对角解三角形，让我们找出有两解的选项。A选项，A为锐角，b乘以(\sin A = 7)，a等于b乘以(\sin A)，一解。选项B，B角为钝角，b边大于a边，一解。选项C，C角是锐角，如图所示，a乘以(\sin C = \sqrt{3})，C边等于(\sqrt{2})，C小于a乘以(\sin C)，无解。所以选D。当然，我们也可以直接判别选项D。
可能有的同学会说，选项D中A角是26度，b乘以(\sin A)的数值很难计算呀。事实上，我们只要能判别清楚a边与b乘以(\sin A)的大小关系，就能够确定解的个数，不一定非要精确计算出b乘以(\sin A)的数值。如图，b乘以(\sin A = 40\times\sin26^{\circ})，小于(40\times\sin30^{\circ})，也就是说b乘以(\sin A)比20还要小，所以a大于b乘以(\sin A)小于b，有两解。