师：本节课我们来复习北师大版高中数学必修5第二章“解三角形”。在这一章中，我们学习了哪些内容呢？下面我们一起来回顾一下。
首先，是正弦定理。在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。它的表达式为：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
这个连等式有什么特殊的含义呢？它等于三角形ABC外接圆的直径2R。我们可以对这个连等式进行适当变形：
a = 2R sinA，同样可以得到 b = 2R sinB，c = 2R sinC，这称为“边化角”公式。
sinA = a/(2R)， sinB = b/(2R)， sinC = c/(2R)，这称为“角化边”公式。
我们还可以得到 a : b : c = sinA : sinB : sinC。
若角A > 角B，则等价于边a > 边b，也等价于2R sinA > 2R sinB，即 sinA > sinB。这个结论说明什么问题？
生：在一个三角形中，如果一个内角较大，则它的正弦值也较大，反之也成立。
师：很好。接下来看正弦定理的应用。利用正弦定理和三角形内角和定理，可以解决以下两类问题：
一、已知三角形的两角及任意一边，求其他两边和一角。
二、已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。
对于类型一，比较简单。根据我们初中学过的三角形全等的知识可知，当三角形的两角及一边确定时，所有满足条件的三角形是全等的，所以三角形有唯一解。
对于类型二，则比较复杂，同学们要予以高度重视。我们分情况来看：
若角A为锐角：
当 a = b sinA 时，三角形有一解。
当 a ≥ b 时，三角形有一解。
当 b sinA < a < b 时，三角形有两解。
当 a < b sinA 时，三角形无解。
若角A是钝角或直角：
当 a > b 时，三角形有一解。
当 a ≤ b 时，三角形无解。
在这些情况中，大家要高度重视“两解”的情况，这是一个高频考点。
师：第四，是三角形的面积公式。同学们在小学就学过：三角形的面积等于二分之一乘以底乘以高。根据这个公式，我们可以推导出：
三角形ABC的面积 S = (1/2)ab sinC = (1/2)bc sinA = (1/2)ac sinB。
还可以表示为 S = abc/(4R)。
关于三角形的面积，课本还介绍了海伦公式和我国南宋数学家秦九韶的“三斜求积公式”。
师：第五，是余弦定理。它反映了什么样的规律呢？三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和，减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即：
a² = b² + c² - 2bc cosA
b² = c² + a² - 2ca cosB
c² = a² + b² - 2ab cosC
注意：
当角C = 90°时，cosC = 0，则有 c² = a² + b²。由此可见，余弦定理是勾股定理的推广。
余弦定理的每一个等式中都含有四个不同的量，分别是三角形的三边和一个角。知道其中的三个量，便可求出第四个量。
对于余弦定理，我们同样可以做一些变形。从上面三个等式可以变形得到三角形内角的余弦表达式：
cosA = (b² + c² - a²) / (2bc)
cosB = (c² + a² - b²) / (2ca)
cosC = (a² + b² - c²) / (2ab)
这就说明三角形内角的余弦可以用三边来表示。我们以cosA为例：
cosA > 0 等价于 b² + c² - a² > 0，等价于角A是锐角。
cosA = 0 等价于 b² + c² - a² = 0，等价于角A是直角。
cosA < 0 等价于 b² + c² - a² < 0，等价于角A是钝角。
通过角的余弦值，我们可以判断角的范围，从而确定三角形的形状。
师：在本章最后，我们学习了解三角形的实际应用。在这一节中，我们要知道有关的名称和术语，如仰角、俯角、方向角、坡角。实际应用主要涉及距离问题、高度问题、角度问题。
解三角形的实际应用，实质是什么呢？其实质是先从实际问题中抽象概括出数学模型，再借助正弦定理、余弦定理、内角和定理及其他三角函数的知识来解三角形，最后将三角形的解还原为实际问题的答案。
这就是本章的主要内容。下面我们来看几个具体的例子和练习。
例一： 在三角形ABC中，已知角A = 30°，边a = 8，边b = 8√3，求三角形ABC的面积。
本题是已知三角形的两边及一边的对角，求三角形的面积。我们如何来求呢？很容易想到用面积公式 S = (1/2)ab sinC。如果我们用上a边和b边，我们缺sinC。如果我们用上角A，我们缺c边。到底用哪一种形式来求呢？下面我们两种方法都来试一下。
方法一：通过求sinC来求面积。
因为 a/sinA = b/sinB，所以 sinB = (b sinA)/a = (8√3 × 1/2) / 8 = √3/2。
由于b > a，所以角B > 角A，因此角B = 60° 或 120°。
接下来求sinC：
当角B = 60°时，角C = 180° - 30° - 60° = 90°，sinC = 1。此时三角形为直角三角形，面积 S = (1/2)ab = (1/2)×8×8√3 = 32√3。
当角B = 120°时，角C = 180° - 30° - 120° = 30°，sinC = 1/2。面积 S = (1/2)ab sinC = (1/2)×8×8√3×(1/2) = 16√3。
综上，三角形ABC的面积为32√3或16√3。
方法二：通过求边c来求面积。
由余弦定理：a² = b² + c² - 2bc cosA。
代入已知：64 = (8√3)² + c² - 2×8√3×c×cos30° = 192 + c² - 24c。
整理得：c² - 24c + 128 = 0，即 (c - 16)(c - 8) = 0，所以 c = 16 或 c = 8。
当 c = 16 时，面积 S = (1/2)bc sinA = (1/2)×8√3×16×(1/2) = 32√3。
当 c = 8 时，面积 S = (1/2)bc sinA = (1/2)×8√3×8×(1/2) = 16√3。
结果与方法一相同。
所以我们在日常学习中要积极思考，大胆尝试。下面我们来看一个练习。
练习： 已知在三角形ABC中，15 sinA = 12 sinB = 10 sinC。判断三角形ABC的形状。
要判断三角形的形状，就必须搞清楚最大内角的范围。由大边对大角和余弦定理的变形结论可知，可以借助于三边之间的数量关系判断出哪一个角最大以及最大内角的范围。
由已知条件，我们可以求出 sinA : sinB : sinC 的值，而这个比值就等于 a : b : c 的比值。所以本题可以从求 sinA : sinB : sinC 的值入手来解决。
详解：
为避免计算中出现分数，设 15 sinA = 12 sinB = 10 sinC = 60k (k > 0)。