师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们共同学习必修五第一章第2.2节“等差数列的前n项和”。在学习新课之前，我们先来了解本节课的学习目标。
一、知识目标：掌握等差数列的前n项和公式，理解倒序相加求和的思想方法，会用公式解决一些简单问题。
二、能力目标：通过公式的推导和应用，体会从特殊到一般的思维规律，初步形成认识问题、解决问题的思路和方法。
在前面的学习中，我们学习了等差数列的通项公式，数列的第n项(a_n)可以用首项(a_1)、项数n和公差d表示，以及通项公式的推广，数列的第n项与第m项之间存在的关系式。还学习了等差数列的性质，若(m + n = p + q)，则(a_m + a_n = a_p + a_q)。
提到数列求和，不由得想起著名数学家高斯小时候神速求和的故事。高斯上小学时，数学老师给同学们出了一道题，计算从1到100的自然数之和。大家知道高斯用什么方法快速算出结果的吗？很多同学都了解，高斯采用首尾配对的方式，快速算出了正确答案5050。请同学们思考，能否用简便方法算出它的值呢？计算1到100的自然数和，观察这个式子会发现，1和100的和、2和99的和、3和98的和都是101。我们不妨把这个式子按次序重新排列，写成(100 + 99 + 98 + \cdots + 1)的形式。观察上下两个式子，会发现对应项的和始终是定值101。如果把这两个式子叠加，就会得到100个101相加，所以(1 + 2 + 3 + \cdots + 100 = \frac{100}{2}×101 = 5050)。
在实际生活中，常遇到数列求和问题。比如课本开头的引例，有200根相同的原木料，要把它们堆成正三角形垛，并使剩余的原木料尽可能少，问剩余多少根原木料。为解决这个问题，我们把这堆原木料的截面图表示出来。通过观察图形，会发现第一层摆放1根，第二层2根，第三层3根。假设共摆放了n层，那么第n层应该有n根。这显然是一个等差数列求和问题。设能构成正三角形垛的原木料数为(S_n)，则(S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n)。同学们思考一下，能否类比刚才求1到100自然数和的方法，求出(S_n)与n之间的关系式呢？大家可以试着推导一下。
下面从图形角度观察，我们把正三角形倒过来，与原来的正三角形拼成一个平行四边形。观察这个平行四边形，会发现平行四边形内原木料共摆放了n层，每一层原木料都有(n + 1)根。所以整个平行四边形内的原木料有(n(n + 1))根，正三角形内的原木料有(\frac{n(n + 1)}{2})根，也就是(S_n)。从而整个题目转化成(S_n \leq 200)，n为何值时剩余的原木料最少的问题。通过计算会发现，(n = 19)时，(S_{19} = 190)，此时剩余的原木料最少，剩余10根。
通过刚才1到100自然数求和方法，以及1到n自然数求和的方法，我们能不能推广到一般的等差数列求和问题呢？假设(S_n)是等差数列({a_n})的前n项和，即(S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n)。为简化方便，我们把(S_n)写成一式，也就是把数列({a_n})的各项都转化成首项(a_1)和公差d进行表示，(a_2)写成(a_1 + d)，(a_3)写成(a_1 + 2d)，(a_n)写成(a_1 + (n - 1)d)。再把(S_n)按次序倒过来写成二式，二式中的各项全部用(a_n)和d来表示。观察一、二两个式子，不难发现对应项的和一直是定值，含有公差d的项全部都可以约掉。
那么如果把一式和二式相加，等号左侧是(2S_n)，右侧就有n个(a_1)与(a_n)相加，所以等于(n(a_1 + a_n))。我们把这种求和方法称为倒序相加法。因为(2S_n = n(a_1 + a_n))，所以可以推导出(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2})，其中(a_1)表示数列的首项，(a_n)表示数列的末项，n表示项数，简记为首项加末项乘以项数除以2。我们用(a_n = a_1 + (n - 1)d)代入到(S_n)的表达式，又可以得到(S_n)的另外一种形式，即(S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d)，我们把这两个式子分别记为公式一和公式二。
下面针对这两个公式的特点分析一下。公式一首项加末项乘以项数除以2，回忆前面学习的图形中梯形的面积公式是上底加下底乘高除以2，我们不妨把公式一类比梯形的面积公式进行理解和记忆。观察图形，把两个完全相同的梯形拼成一个平行四边形，平行四边形的底边是(a_1 + a_n)，平行四边形的高是n，所以整个平行四边形的面积是(n(a_1 + a_n))，其中一个梯形的面积是(\frac{n(a_1 + a_n)}{2})。以后在记忆公式时，不妨把(a_1)看作梯形的上底，把(a_n)即数列的末项看成梯形的下底，项数n看作梯形的高，这样就能类比梯形面积公式快速记住公式一。
对于公式二，我们仍然类比梯形的面积公式进行记忆。把梯形分割成一个平行四边形和一个三角形，整个梯形面积等于平行四边形的面积加上右侧三角形的面积。平行四边形的底为(a_1)，高为n，平行四边形的面积为(na_1)。后面三角形的底是((n - 1)d)，因为(a_n = a_1 + (n - 1)d)，三角形的高也为n，所以整个三角形的面积为(\frac{n(n - 1)}{2}d)。
通过这两个图形，能更好地记住这两个公式。下面看两个公式的特点。第一个公式出现了(S_n)、前项和、项数n、首项(a_1)、末项(a_n)这四个量，可以做到知三求一。公式二也出现了四个量，分别是(S_n)、(a_1)、公差d和项数n，同样可以做到知三求一。综合两个公式看，两个公式共出现了这5个量，可以做到知三求二，也就是这五个量中知道三个就能把另外两个未知量解出来。
好，下面我们主要看公式的应用。
例一，求前n个正奇数的和。假设正奇数列为({a_n})，则(a_n = 2n - 1)。从通项公式(a_n = 2n - 1)，可得首项(a_1 = 1)，公差(d = 2)。要求的是前n个正奇数的和，即(S_n)。
观察题目，已知条件是首项、第n项和项数n，可以选用公式一求(S_n)；若选择首项、公差和项数n，就可以选择第二个公式求(S_n)。下面看具体利用公式过程。用公式一，(S_n = \frac{n(a_1 + a_n)}{2})，计算结果是(n^2)；用公式二，(S_n = na_1 + \frac{n(n - 1)}{2}d)，计算结果也是(n^2)。