师：我们知道数列是按一定次序排列的一列数，那如何确定一个数列，以便根据需要写出数列的任意一项呢？来看个例题。小明开始认汉字时，只认识“一”这个字。从明天起，妈妈每天教他认三个字，且他都能记住。那么从今天开始，他的识字量逐日递增，依次为一、四、七、十…… 那多少天后，他的识字量能达到1000呢？显然一项一项地数很麻烦，所以我们需要进一步学习数列的相关知识来解决这类问题。
确定一个数列，我们可以采用穷举的方法，即根据各项之间的关系列举出每一项；或者寻求项的序号(n)与对应项(a_{n})之间的函数关系，也就是通过数列通项公式确定每一项。那还有其他描述数列的方法吗？这些方法之间又有怎样的联系呢？希望同学们在今天的学习中找到答案。
本节课我们要学习一个重要的数列模型，并用不同方法描述这一类数列。先看课本中的三个例子：
一、剧场设置了20排座位，从第一排起，各排的座位数组成数列，得到数列一。
二、把成年女鞋的各种尺码从大到小排列，得到数列二。
三、蓝、白两种颜色的正六边形地砖，按规律拼成若干图案。第一个图案中有6个白色地砖，第二个图案有10个，第三个图案大家数一数有14个，把这三个数记为数列三。
课本的问题是让我们发现这些数的规律。现在请大家从运算的角度，也就是项与项之间的运算，来分析每组数列中项与项之间存在什么关系。不难发现，这三个数列的规律一致，都是从第一项开始不断加或减同一个常数。数列一不断加2，数列二不断减(\frac{1}{2})，数列三不断加4。因为减一个数可理解为加一个负数，若把数列二的规律理解为从第一项开始不断加(-\frac{1}{2})，那么这三个数列的规律就可进一步统一为从第一项开始不断加同一个常数。
不过，这种对规律的描述不严谨。我们用(A_{1})、(A_{2})、(A_{3})、(A_{4})表示数列中的各项，那么数列一各项之间的关系既可以用加的形式表达，也可以用做差的方式表达。大家比较一下做差的方式，还能把所有等式串起来表达为(A_{2}-A_{1}=A_{3}-A_{2}=A_{4}-A_{3})。
下面我们重新看这三个数列的规律，把数列的各项都用字母表达。为便于观察，将对应的关系式写成一列，这样规律更明显，每个数列中相邻两项的差是定值。那相邻两项中哪一项是减数，哪一项是被减数呢？为清楚描述数列各项之间的关系，我们把(A_{2})称为(A_{1})的后一项，(A_{1})就是(A_{2})的前一项，(A_{1})有前一项吗？没有。规定了数列各项的前后顺序后，上述规律就可概括为：从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数。我们把这样的数列称为等差数列。来看具体定义：从第二项起，每一项与前一项的差是同一个常数，具有以上特征的数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母(d)表示。等差数列是一类重要的数列模型，也是我们本节课要学习的内容。
以上三个数列都是等差数列，数列一的公差为2，数列二的公差为(-\frac{1}{2})，数列三的公差为4。我们对等差数列的特征有了初步认识，得出了等差数列定义的文字语言描述。那如何用数学语言描述等差数列呢？刚才我们用(A_{2}-A_{1}=A_{3}-A_{2}=A_{4}-A_{3}=d)来表示数列各项之间的关系，但对于无穷数列，无法写出所有相邻项的关系，只能用省略号表达。能否用一个更简洁的式子准确表达出所有相邻项的关系呢？如果用数列中的某一项来表示每一项，会想到哪一项呢？对，是第(n)项(a_{n})，令(n\in N^+)，(a_{n})就可表示数列中的所有项，(a_{n})的前一项是(a_{n - 1})，因此会想到表达式(a_{n}-a_{n - 1}=d)。当(n)取遍正自然数集的所有值，这个关系式就能表示所有相邻两项间差为定值。考虑到(a_{n - 1})要有意义，所以规定(n\in N^+)且(n\geq2)。
通常等差数列的定义可以用数学符号语言描述为(a_{n}-a_{n - 1}=d)（(n\geq2)）或者(a_{n + 1}-a_{n}=d)（(n\geq1)）。这两个式子形式不同，但都能全面准确表示等差数列的定义。我们把这些关系式称为等差数列的递推公式。
最后强调两点：一是等差数列的公式是任意一项减它的前一项，相邻两项相减的顺序不能颠倒；二是定义中的“同一个常数”指的是(a_{n}-a_{n - 1})或(a_{n + 1}-a_{n})这些代数式的计算结果是一个与(n)无关的数。
下面我们通过例一学习如何利用定义判断一个数列是否为等差数列。第一小题，已知数列的通项为(2n - 1)。先列举数列的前几项，在前四项中很容易看出每一项与前一项的差都是定值2，但没验证每一项，不能得出该数列是等差数列的结论。如何验证所有项呢？可以验证(n\in N^+)时，(a_{n + 1}-a_{n})为常数，这一个等式就行。首先用(n + 1)替换通项公式中的(n)，写出(a_{n + 1})的表达式，再把(a_{n + 1}-a_{n})表达出来，化简为与(n)无关的常数。由(n)的任意性可知，这个数列就是等差数列。或者写出第(n - 1)项的表达式，用(a_{n}-a_{n - 1})来证明这个数列为等差数列也是可行的。
下面看例2。同样先由通项公式列举前几项观察，显然(a_{2}-a_{1}=2)，(a_{3}-a_{2}=-2)。由于(a_{2}-a_{1}\neq a_{3}-a_{2})，所以这个数列不是等差数列。回顾例一，如何利用定义判断一个数列是否为等差数列呢？首先列举前几项观察，如果不符合定义，举出反例说明即可；如果要证明它是等差数列，则需要根据通项表达出(a_{n}-a_{n - 1})或(a_{n + 1}-a_{n})，再对式子变形化简，直到得出常数。
等差数列的定义实际上是采用递推的方法描述等差数列，我们还可以运用通项公式来描述一个数列。那能否从等差数列的定义推导出等差数列的通项公式呢？来看例2，已知等差数列({a_{n}})首项为1，公差为(\sqrt{2})，求通项。根据等差数列的定义，可知这个数列开头几项。通过观察前四项中每一项的序号(n)（即下标）与这一项(a_{n})的对应关系，可以归纳出规律：从第二项开始，第(n)项等于第一项加上公差的(n - 1)倍，即(a_{n}=1 + (n - 1)\sqrt{2})，(n\geq2)。这里需要验证首项，用归纳出的关系式计算(n = 1)的值为1，与(a_{1})的值一致，所以这个公式对(n = 1)也成立，因此它就是所求的通项公式。