师：同学们好，上节课我们学习了等差数列的定义：从第二项起，每一项与它前一项的差是同一个常数，这样的数列为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，通常用字母d表示。等差数列的递推公式可以表达为(a_{n}-a_{n - 1}=d)（(n\geq2)），或者写为(a_{n + 1}-a_{n}=d)（(n\geq1)），它的通项公式为(a_{n}=a_{1}+(n - 1)d)。通项公式和递推公式从两个不同角度反映了数列的特点。
这节课我们先来看留给大家的思考题。若数列通项(a_{n}=pn + q)，其中(p)、(q)为常数，请判断数列({a_{n}})是不是等差数列。如果是，其首项和公差是什么？我们先列举数列的前几项，该数列为(p + q)，(2p + q)，(3p + q)，(4p + q)等。在前四项中很容易看出每一项与前一项的差都是同一个常数(p)。因此，我们先计算(a_{n + 1})，再化简(a_{n + 1}-a_{n})这个代数式，得出常数(p)。由(a_{n})的任意性可知，这个数列是等差数列，且公差为(p)，首项为(p + q)。
那么等差数列的通项公式是否都可以表示为变量(n)的一次式呢？我们将等差数列({a_{n}})的通项公式变形整理为(dn + a_{1}-d)。把(n)的系数(d)记为(p)，(a_{1}-d)记为(q)，则(a_{n})可表达为(pn + q)。因此，数列({a_{n}})是等差数列，等价于它的通项(a_{n})可表达为(pn + q)，即为(n)的一次式。
在第一节数列概念的学习中，我们知道数列可以看作定义域为正整数集或它的有限子集的函数，数列的通项公式就是相应函数的解析式，数列的图像是位于(y)轴右侧的一些孤立的点。等差数列的通项公式可以整理为(dn + a_{1}-d)。由此可知，当(d\neq0)时，等差数列({a_{n}})是定义在自然数集上的一次函数。下面我们就从函数的角度研究等差数列。
先研究等差数列通项相对应的函数(y = dx + a_{1}-d)，它的图像是一条直线，直线的斜率为公差(d)，直线在(y)轴上的截距为(a_{1}-d)。按公差(d)的正负分类，分别做出公差大于(0)、小于(0)、等于(0)时直线的图像。从图像中可以看出，等差数列的图像是直线上一些位于(y)轴右侧的孤立的点，这些点的横坐标是正整数，所以这些点在直线上均匀分布，间隔相等。
从函数性质上看，一次项(n)的系数为公差(d)，即自变量每增加(1)，函数值增加(d)。当公差(d\gt0)时，({a_{n}})为递增数列；当公差(d\lt0)时，({a_{n}})为递减数列；当(d = 0)时，({a_{n}})为常数列，不具有单调性。以上就是等差数列定义的图形语言，图像是描述等差数列的又一种方法。接下来我们试着用函数的观点研究一个具体的等差数列。
例5：已知等差数列({a_{n}})图像上两点的坐标，求这个数列的通项公式，画出这个数列的图像，判断这个数列的单调性。对于等差数列图像上的点，横坐标表示项数，纵坐标表示相应的项，因此(a_{1}=1)，(a_{3}=5)。用通项公式表示(a_{3})得到关于公差(d)的方程，解得(d)，于是(a_{n}=2n - 1)。
第二小题：因为等差数列的图像是直线(y = 2x - 1)上的一些等间隔的点，所以先用虚线作出直线(y = 2x - 1)，然后在直线上取一些横坐标为正整数的若干个点。因为一次函数(y = 2x - 1)一次项的系数为正，因此它是增函数，所以对应的数列({a_{n}})也是递增数列。
下面我们对比例4与例5这两个题目及其解法。例5已知等差数列图像上两点的坐标，这个条件本质上就是已知数列中的某两项。因此例4和例5虽然条件给出的形式不同，但其本质是同一类问题，即已知等差数列中的任意两项求通项。
从方程的角度来理解这个问题：给定一个等差数列的任意两项，即可得到关于(a_{1})和(d)的二元一次方程组。因为在一般情况下，二元一次方程组的解唯一，所以(a_{1})和(d)的值就确定了，这个等差数列也就唯一确定了。
再从函数的角度：给定一个等差数列的任意两项，即给定等差数列图像所在直线上的两点。因为两点可以确定一条直线，所以等差数列的图像所在直线就确定了，这个等差数列也就唯一确定了。这两个题目从不同的角度得出了相同的结论：给定一个等差数列的任意两项，这个等差数列就唯一确定，进而能确定数列的通项公式。从函数和方程的两个角度为我们求解问题提供了有力的工具。
下面我们来研究仅有3项的等差数列。如果在(a)与(b)中间插入一个数(A)，使(a)，(A)，(b)成等差数列，那么(A)叫做(a)与(b)的等差中项。如果(A)是(a)与(b)的等差中项，由等差数列的定义可知，第二项(A)减去第一项(a)等于第三项(b)减第二项(A)，所以(A=\frac{a + b}{2})。
再观察(a)，(\frac{a + b}{2})，(b)这三个数，已知第二项(\frac{a + b}{2})减第一项(a)等于第三项(b)减第二项(\frac{a + b}{2})，运算的结果都为(\frac{b - a}{2})。因为(a)、(b)为定值，所以它们的差(\frac{b - a}{2})也为定值。所以(a)，(\frac{a + b}{2})，(b)成等差数列，(\frac{a + b}{2})就是(a)与(b)的等差中项。
由此，我们可以得出结论：(a)，(A)，(b)成等差数列，则等价于中间项(A=\frac{a + b}{2})，即中间项等于前后两项和的一半。容易看出在一个等差数列中，从第二项起（有穷等差数列的末项除外），每一项都是它的前一项与后一项的等差中项。在等差数列中，第(n)项(a_{n}=\frac{a_{n - 1}+a_{n + 1}}{2})（(n\geq2)），我们把(a_{n})叫做(a_{n - 1})与(a_{n + 1})的等差中项。等差中项的概念描述了等差数列中相邻三项的递推关系。