师：同学们，在解决测量、工程、航海等实际问题时，很多都要用到解三角形的知识。本节课，我们将通过一些实例，让大家感受解三角形知识的重要性，体会数学建模的思想，掌握数学建模的方法。为了更好地学习，我们先回顾几个概念。
仰角和俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角为仰角，在水平线下方的角为俯角。
方位角：从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，叫做方位角。如B点的方位角为α。
方向角：相对于某一正方向的水平角。北偏东α度，即由指北方向顺时针旋转α度到达目标方向；北偏西α度，即由正北方向逆时针旋转α度到达目标方向，其他方向类似。
正弦定理：$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$（R是三角形ABC外接圆的半径）。正弦定理能解决两类斜三角形问题：一类是已知两角和一边，求剩余的两边和一角；另一类是已知任意两边和其中一边的对角，求另外一边所对的角，进而求出剩余的边和角。
余弦定理：$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos A$以及类似的两个式子。余弦定理也能解决两类斜三角形问题：一类是已知三边求三角，另一类是已知两边和它们的夹角求剩余的边和角。
下面我们来看第一个案例。自动卸货汽车采用液压机构，设计时需要计算油泵顶杆BC的长度。如图所示，已知车厢的最大仰角为60度（指车厢AC与水平线夹角），油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，AB与水平线之间的夹角为6度20分，AC长为1.4米，计算BC的长度，结果精确到0.01米。
大家看图思考问题一：你能将图中的实际问题描绘成数学图形的问题吗？首先，车厢AC与水平线夹角为60度，我们连接AC并做出水平线；油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95米，我们连接BA并标上长度；AB与水平线之间的夹角为6度20分，我们做出水平线；AC长为1.4米，我们标上数据；计算BC的长度，连接BC，去除干扰因素，这样就做出了数学图形。
大家继续看图思考问题二：已知哪些条件，需要算出什么？这个问题就是在三角形ABC中，已知AB的长是1.95米，AC的长1.40米，∠BAC = 60度 + 6度20分 = 66度20分。我们要做的是求出BC的长。到这里，这个实际问题通过画出示意图分析已知和未知，已经彻底抽象概括成了一个数学模型，这个过程就是数学建模。
大家继续看图思考问题三：可以利用我们学习的什么知识求解？由于已知两边和它们的夹角，所以可以根据余弦定理求出BC。下面我们给出解答过程。
由余弦定理得：$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cdot\cos\angle BAC$，代入数据得：$BC^{2}=1.95^{2}+1.40^{2}-2×1.95×1.40×\cos66度20分$。其中66度20分的余弦可借助三角函数计算器求得为0.4014，计算结果约等于3.571，所以BC的长约等于1.89米。
到这里，这个数学模型的解已经得出，请大家思考问题四：实际问题得到解决了吗？我们还要将这个模型的解还原到实际问题中。答：顶杆BC长约1.89米。
通过这道例题，我们可以总结出用解三角形的知识解决实际问题时的一般思路如下：
一、读懂题意，理解问题的实际背景，明确一些名词的含义，如仰角、俯角、方位角、方向角等，理清量与量之间的关系。
二、将实际问题的各种要素提取出来，分清已知与所求，抓住主要元素角与线段，构造出一个或多个三角形，根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。
三、正确选择正弦定理或者余弦定理等三角形知识解三角形。
四、将三角形的解还原为实际意义，注意实际问题与抽象的数学问题在单位、近似计算上的差异。
如果用流程图来表示，首先是得到实际问题，然后抽象概括出它的数学模型，并画出示意图；再通过演算推理得到数学模型的解；最后将数学模型的解还原到实际问题。这里的数学模型很多是解三角形问题，数学模型的解也就是三角形问题的解。
下面请同学们自己来试试练习一。
师：好，下面我们一起来完成这道题。我们先一起来再读一遍题目，如图所示，在加工缝纫机挑线杆时，需要计算AC两孔中心的距离。已知BC的长60.5毫米，AB的长15.8毫米，∠ABC = 80度，求AC的长度，结果精确到0.01毫米，提示80度的余弦约为0.1736。
这个问题我们很容易画出示意图三角形ABC。根据题意可以发现拥有的条件是：BC = 60.5毫米，AB = 15.8毫米，∠ABC = 80度，需要求的未知量是AC。到此我们已经抽象出了数学模型。下面只需运用解三角形的知识求解即可，很明显条件是两边和它们的夹角，所以我们可以借助余弦定理解决。下面我们给出解答过程。
解：由余弦定理可得，$AC^{2}=BC^{2}+AB^{2}-2BC\cdot AB\cdot\cos B$，代入数据约等于$60.5^{2}+15.8^{2}-2×60.5×15.8×0.1736$，可计算出结果约等于3578.002，所以AC约等于59.82毫米。
最后，我们还需还原到实际问题。答：AC约长59.82毫米。
相信大家都完成得非常好。同学们在实际的测量过程当中，经常还会出现一些不可到达的测量问题，这就更需要我们借助三角形的知识来解决。这是一个烟囱高度的测量问题，我们不容易到达烟囱顶部进行直接测量，但是可以借助卷尺和测角仪器算出烟囱的高度。
如果我们能够顺利到达烟囱底部，而且能够展开测量的话，那我们可以在烟囱底部的同一水平直线上找到一个点，然后测出烟囱的仰角，测出它到烟囱底部的距离，借助直角三角形的知识算出烟囱的高。但是就这一幅图所体现的情形而言，烟囱周围非常拥挤，如果这个点选得离烟囱比较近，那么不便于我们展开测量仰角；如果这个点选择得比较远，由于围墙的遮挡，不容易测出这个点到烟囱底部的距离。所以一个点的方式在这一题可能行不通。那么我们试一试在烟囱底部同一水平直线上找两个点行不行？
假设C、D两点都在烟囱底部的同一水平线上，在这两个位置分别用高为1.5米的测角器测得烟囱的仰角分别是45度和60度，CD之间的距离是12米，那我们能否算出烟囱的高度呢？我们还是按照刚刚研究实际问题的过程，先画出示意图，找到已知元素和未知元素，从而得到数学模型；再通过推理演算得到数学模型的解；最后将数学模型的解还原到实际问题。