师：同学们好，今天的课题是圆周角第二课时——圆内接四边形。我们先来复习引入。什么是圆周角？顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。那什么是圆周角定理呢？一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。如图所示，∠BAC = 1/2∠BOC 。
现在观察与思考，看看图中的四边形有什么特点？我们能看到 A、B、C、D 四个点都在同一个圆上。当一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形就叫做圆的内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。如图，四边形 ABCD 叫做⊙O 的内接四边形，⊙O 叫做四边形 ABCD 的外接圆。
接下来创设探究问题，圆内接四边形具有什么性质呢？为了研究这个问题，我们先来看看圆的特殊内接四边形，像矩形、正方形有哪些性质。矩形对边相等且平行，正方形对边相等、平行且邻边也相等。
从上面的性质可以看出，圆内接四边形的边之间似乎没有共同的性质。那角呢？我们注意到矩形和正方形所有角都是 90°，一般四边形不具备这样的特点，所以我们可以考虑两角之和。
问题一：如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆。那么∠A 与∠C、∠B 与∠D 之间有什么关系呢？我们注意到∠A 和∠C 是一对对角，∠B 和∠D 是一对对角。正方形和矩形的每一个角都是 90°，所以我们大胆猜想，∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
那如何证明这个结论是正确的呢？首先看证法一，连接 OB、OD。因为弧 BCD 和弧 BAD 所对的圆心角之和是 360°，所以∠A + ∠C = 180°。同理可证，∠ABC + ∠ADC = 180°。
再看另外一种证法，如图，连接 OA、OB、OC、OD。因为 OA = OB = OC = OD，所以∠1 = ∠5，∠2 = ∠6，∠3 = ∠7，∠4 = ∠8 。因为四边形内角和为 360°，所以∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°。经过化简可得∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180°。而我们又注意到∠1 + ∠2 = ∠BAD，∠3 + ∠4 = ∠BCD 。所以∠BAD + ∠BCD = 180°，同理可证∠ABC + ∠ADC = 180°。
同学们，通过以上两种证明方法，我们都得出一个结论：圆内接四边形的对角互补。除了这个，还有没有其他的性质呢？我们继续研究。
问题二：如图，延长 DC 到 E，问∠A 与∠BCE 有什么关系呢？我们来看图，因为 ABCD 是圆内接四边形，所以∠A + ∠BCD = 180°，∠BCD + ∠BCE = 180°。根据同角的补角相等，可得∠A = ∠BCE 。证明过程如下：因为∠A + ∠BCD = 180°，∠BCD + ∠BCE = 180°，所以∠A = ∠BCE 。
我们观察刚才得出的结论，由前面外角的定义可知，∠BCE 是四边形 ABCD 的一个外角，BCE 与∠BCD 相邻，∠A 与∠BCD 是对角，所以我们把∠A 叫做∠BCE 的内对角。由此我们得出另一个结论：圆内接四边形任何一个外角都等于它的内对角。
接下来总结一下圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。如图，它的几何语言为：因为四边形 ABCD 内接于⊙O，所以∠A + ∠BCD = ∠B + ∠D = 180°，∠A = ∠BCE 。
讲完了性质，来看两道例题。
例一：在圆内接四边形 ABCD 中，∠A、∠B、∠C、∠D 的度数之比是 2 : 3 : 6，求这个四边形各角的度数。我们来分析一下，本题已知∠A、∠B、∠C、∠D 度数之比，我们可以用设参法，再根据圆内接四边形对角互补的性质，列出方程，进一步求出各个角的度数。过程如下：
解：设∠A、∠B、∠C、∠D 的度数分别等于 2x、3x、6x。因为四边形 ABCD 内接于圆，所以∠A + ∠C = ∠B + ∠D = 180°。所以 2x + 6x = 180°，解得 x = 22.5°。所以∠A = 2x = 45°，∠B = 3x = 67.5°，∠C = 6x = 135°，又因为∠B + ∠D = 180°，所以∠D = 180° - 67.5° = 112.5°。
我们再看下一题。
例 2：如图，已知 A、B、C、D 是⊙O 上的四点，延长 DC、AB 相交于点 E。若 BC = BE，求证：△ADE 是等腰三角形。我们分析一下条件，BC = BE，要证△ADE 是等腰三角形，我们自然想到等边可得等角，等角也可得等边。再结合 ABCD 是圆内接四边形，∠BCE 是其外角，利用外角等于内对角，可以得出结论。证明过程如下：