师：同学们大家好，今天我们一起来学习圆周角第三课时相关的内容复习。
首先，复习圆周角的定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。其图形有三种情况：
第一种，圆心(O)在(\angle BAC)一边上，此时弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)，弧(BC)所对的圆心角是(\angle BOC)，所以(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC)。
第二种，圆心(O)在(\angle BAC)内部，同样弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)，弧(BC)所对的圆心角是(\angle BOC)，也能得到(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC)。
第三种，圆心(O)在(\angle BAC)外部，弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)，弧(BC)所对的圆心角是(\angle BOC)，同样可得(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC)。
接着，复习圆周角的推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等。半圆或直径所对的圆周角是直角，(90)度的圆周角所对的弦是直径。从第一个图可知，弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)，弧(BC)所对的圆周角也是(\angle BDC)，这两个圆周角都是弧(BC)所对的圆周角，所以(\angle BAC = \angle BDC)。第二个，弧(AB)与弧(BC)相等，弧(AB)所对的圆周角是(\angle ADB)，弧(BC)所对的圆周角是(\angle BEC)，所以(\angle ADB = \angle BEC)。第三个，(AB)是圆(O)的直径，此时圆心角(\angle AOB = 180)度，它所对的圆周角是(\angle ADC)，那么(\angle ADC = 90)度。要注意，做圆周角相关习题时，若图形中给了直径却找不到相应圆周角，可连接(CA)或者连接(BC)，构造出(90)度的圆周角。
然后，复习圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角等于它的内对角。圆(O)上，(ABCD)是圆上的四个点，顺次连接构成圆的内接四边形。(\angle BAD)和(\angle BCD)属于一组对角，所以(\angle BAD + \angle BCD = 180^{\circ})。同时(\angle BCD)与(\angle DCE)互补，所以(\angle BAD = \angle DCE)。
下面来看例一。如图，(ABC)是圆(O)上的三点，(\angle BOC = 60)度，则(\angle BAC)等于多少度？由图可知，(\angle BOC)是圆心角，它所对的弧是弧(BC)，弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)。根据圆周角定理，可得(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = \frac{1}{2}×60^{\circ} = 30^{\circ})。若题目改成，如图(BC)是圆(O)上的两点，(A)是圆(O)上任意一点，不与(B)、(C)重合，(\angle BOC)仍然等于(60)度，则(\angle BAC)等于多少度？因为(BC)两点位置确定，点(A)位置有两种可能，一是在优弧(BC)上，二是在劣弧(BC)上。第一种情况，点(A)在优弧(BC)上，此时图形与例一相似，(\angle BOC)所对的弧是弧(BC)，弧(BC)所对的圆周角是(\angle BAC)，所以(\angle BAC = \frac{1}{2}\angle BOC = 30^{\circ})。第二种情况，点(A)在劣弧(BC)上，此时(\angle BAC)是圆周角，它所对的弧是优弧(BC)，题目给的(\angle BOC = 60)度是小角，大角(\angle BOC = 360^{\circ} - 60^{\circ} = 300^{\circ})，所以(\angle BAC = \frac{1}{2}×(360^{\circ} - \angle BOC) = \frac{1}{2}×300^{\circ} = 150^{\circ})。还有另一种解法，在优弧(BC)上任意选取一点(D)，连接(CD)、连接(BD)，此时构成圆的内接四边形(ABDC)，(\angle BAC)与(\angle BDC)是圆内接四边形的一组对角，根据圆内接四边形性质，对角互补，即(\angle BAC + \angle BDC = 180^{\circ})。由第一种情况可知(\angle BDC = 30^{\circ})，所以(\angle BAC = 150^{\circ})。综上，(\angle BAC = 30^{\circ})或(150^{\circ})。做这类题时要注意，若题目给的图形不完整或没给图形，找角时需注意角的情况，必要时进行分类讨论。
例二，如图，(AB)为圆(O)的直径，弦(CD)交(AB)于点(P)，(\angle ACD = 60^{\circ})，(\angle ADC = 70^{\circ})，求(\angle APC)的度数。从图上看，(\angle APC)可看成(\triangle ADP)的一个外角，根据三角形外角等于不相邻两个内角的和，所以(\angle APC = \angle ADC + \angle BAD)。已知(\angle ADC = 70^{\circ})，只需求出(\angle BAD)。(\angle BAD)是圆周角，它所对的弧是弧(BD)，(AB)是圆(O)的直径，遇到直径想办法找(90)度圆周角，题目已连接(AC)，我们再连接(BC)，构成圆周角(\angle ACB = 90^{\circ})。已知(\angle ACD = 60^{\circ})，那么(\angle BCD = \angle ACB - \angle ACD = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ})。(\angle BCD)也是圆周角，它所对的弧是弧(BD)，(\angle BAD)所对的弧也是弧(BD)，根据圆周角推论，(\angle BCD = \angle BAD = 30^{\circ})。所以(\angle APC = \angle BAD + \angle ADC = 30^{\circ} + 70^{\circ} = 100^{\circ})。这里通过添加辅助线(BC)，找到(\angle ACB = 90^{\circ})这个特殊条件，利用角与角的转换求出(\angle BAD)的度数。