师：同学们，今天我们继续解决课本第35页思考题中的第2题：过圆外一点P引圆的两条切线，切点为A、B 。求证：∠PAB = ∠PAB。同时思考能否做直线与已知圆O相切？若能做，如何做？能做几条？为解决这个问题，我们先来做些认知准备。大家想想，经过一点作直线与已知圆相切，可以分成几种情形？由点和圆的位置关系可知，可分成三种情形，即经过的点分别在已知圆的圆内、圆上、圆外。那再回答个问题，经过圆内一点能作出切线吗？
生：经过圆内一点作出的直线一定与圆相交，所以经过圆内一点不能作出已知圆的切线，但能做出无数条已知圆的割线。
师：非常好。经过圆上一点，只能做出一条直线与已知圆相切，这个问题上节课我们已解决。具体做法是：第一步连接过该点的半径，第二步过该点作此半径的垂线，所作垂线即为所求。对于思考题，要是现在没思路，我们可以降低问题难度，把思考题中的作图问题转化为画图问题，也就是经过圆O外一点P能画出圆O的切线吗？若能画，能画出几条呢？大家试着画画看。既然是画图，可用三角板、量角器等度量工具。
生：（尝试画图）
师：通过画图我们得出结论，借助三角板可经过点P画出两条直线与圆O相切。既然能画出两条直线与圆O相切，那是否意味着可以做出两条直线与圆O相切呢？因为两点确定一条直线，所以若作出切线PA、PB，关键是确定切点A、B的位置。那如何做出切点呢？为解决这个问题，我们提取些相关知识。切线有哪些性质？
生：第一条性质，圆心到切线的距离等于半径；第二条性质，切线垂直于过切点的半径。
师：回答正确。再思考，直角三角形的外接圆是以什么为直径的圆？
生：直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆。
师：好，继续分析。如图，假设PA、PB与圆O分别相切于点A、B，我们分别连接OA、OB、OP。因为PA、PB与圆O相切，所以∠PAO = ∠PBO = 90°，依据切线垂直于过切点的半径。这样，三角形OPA和三角形OPB都是直角三角形，而Rt三角形OPA和Rt三角形OPB的外接圆都是以OP为直径的圆，即A、O、B、P四点都在以OP为直径的圆上。通过以上分析，我们得出切点A、B是已知圆O与以OP为直径的圆的交点。现在解决了过圆外一点P能否作直线与已知圆相切以及能做几条的问题，接下来解决如何做的问题。已知如图，点P在圆O外，求作直线PA、PB，使得直线PA、PB与圆O分别相切于点A、B 。请同学们在准备好的透明纸上完成作图。
生：（完成作图）
师：同学们已完成作图，下面老师给出示范。第一步，连接OP；第二步，以OP为直径作辅助圆，交已知圆O于点A、B；第三步，分别作出直线PA、PB，直线PA、PB即为所求。这里提醒下，如何确定辅助圆的圆心呢？做出OP的垂直平分线，垂足即为辅助圆的圆心。同学们可把OP垂直平分线的作痕保留在作图中。请同学记录下课后思考题：试着完成对本做法的证明。经过努力，我们圆满解决了课本第35页思考题第2题。结论是经过圆外一点能做两条直线与已知圆相切，做法如上。如图，点P与切点A之间的连线段的长，我们把它叫做什么呢？接下来学习切线长概念。把圆的切线上某一点与切点之间的线段的长，就叫做这点到圆的切线长。如图，线段PA、PB的长，就是点P到圆O的切线长，也就是图中红色部分。点到圆的切线长是切线的一部分，它是一条特定线段的长。同学们理解点到圆的切线长这个概念时，可与前面学过的点到直线的距离这个概念进行类比学习。切线长有什么性质呢？下面完成一个折纸操作，请同学们把前面透明纸上所做的图沿着直线OP对折，有什么发现？
生：（折纸后）PA = PB，OP平分∠APB。
师：很好，这是我们通过折纸做出的合情猜想。接下来完成对猜想的证明。已知如图，直线PA、PB与圆O相切于点A、B 。求证PA = PB，∠APO = ∠BPO 。请同学试着完成证明。
生：（尝试证明）
师：显然，我们分别连接OP、OA、OB，构造出三角形OAP与三角形OBP全等，从而证明出结论。具体过程如下：因为PA、PB与圆O相切，所以PA⊥OA，PB⊥OB，依据切线垂直于过切点的半径，所以∠PAO = ∠PBO = 90°。在Rt三角形PAO和Rt三角形PBO中，OA = OB（它们都是半径），OP为公共边，所以三角形PAO≌三角形PBO（依据HL定理），所以PA = PB，∠APO = ∠BPO（依据全等三角形对应边相等，对应角相等）。我们对猜想归纳概括，可得切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。切线长定理包括两条结论，与三角形中位线定理类似。所以同学们使用切线长定理时要注意规范，把定理条件摆足，根据实际需要得出全部两条结论或其中之一。具体推理格式如下：因为PA、PB与圆O相切，所以PA = PB或者OP平分∠APB（依据切线长定理）。如图，PA、PB与圆O分别相切于点A、B，分别连接OA、OB、AB，再连接OP交AB于点E，交弧AB于点F 。在不添加任何字母和图形的情况下，同学们能得出图中相等的线段、相等的弧、全等关系、垂直关系分别有哪些？请分析思考。
生：因为PA、PB与圆O分别相切，由切线垂直于过切点的半径可得PA⊥AO，PB⊥BO；由切线长定理可得PA = PB，OP平分∠APB；由等腰三角形三线合一的性质可得OP垂直平分AB；由垂径定理的推论可得OP平分弧AB，即弧AF = 弧BF；图中有三组三角形分别全等，具体结论如下：相等的线段有AP = BP，AO = BO，AE = BE；相等的弧有弧AF = 弧BF；全等关系有三角形AOP≌三角形BOP、三角形AOE≌三角形BOE、三角形AEP≌三角形BEP；垂直关系有AO⊥PA，BO⊥PB，AB⊥OP。