师：同学们好，今天这节课是圆这章内容的复习课。我们将从三个部分展开复习：第一部分是旋转，回顾旋转对称图形与中心对称图形的概念；第二部分是圆的基本性质，借助圆的轴对称性复习垂径分弦，通过圆的旋转理解等圆、圆心角、等弧、弦心距这四个量之间的相互转换，同时复习确定一个圆的方法以及三角形外接圆的相关性质；第三部分是角与圆，通过圆周角的性质及推论，还有圆的内接四边形的性质进行复习回顾。
首先来看旋转。在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度得到另一个图形，这种变换叫旋转。旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角确定。比如，三角形 ABC 绕点 O 顺时针旋转一定角度得到三角形 A'B'C'，点 O 就是旋转中心，∠AOA'、∠BOB'、∠COC'就是旋转角，且它们都相等。
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定角度后能与原图形完全重合，这样的图形叫旋转对称图形，这个定点叫旋转中心。如果一个图形绕一个点旋转 180 度后能与原图形完全重合，这样的图形叫中心对称图形，这个点叫对称中心。所以，中心对称图形是特殊的旋转对称图形。
接着看圆的基本概念。圆的定义，我们可以动态理解为在平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所围成的封闭曲线就是圆；也可以理解为平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆。
圆中还有一些相关概念。弦，是连接圆上任意两点间的线段，像图中的弦 CD；经过圆心的弦叫直径，比如直径 AB，要知道直径是圆中最长的弦。圆上任意两点间的部分叫弧，一条直径的两个端点把圆分成两部分，这两段弧都是半圆。大于半圆的弧叫优弧，像图中的弧 CAD，用三个字母表示；小于半圆的弧叫劣弧，如弧 CD。在同圆或等圆中，能够完全重合的两条弧叫等弧。弦心距指圆心到弦的距离，如 OE。
下面是圆的基本性质。首先是圆的对称性，圆既是轴对称图形，也是旋转对称图形。圆有无数条对称轴，就是直径所在的直线，它的旋转对称中心是圆心。
垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧。如图，几何语言表述为：因为 CD 是圆 O 的直径，CD⊥AB，所以 AP = BP，弧 AD = 弧 BD，弧 AC = 弧 BC。如果把条件中的 CD⊥AB 与结论中的 AP = BP 互换位置，就得到垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。几何语言是：因为 CD 是圆 O 的直径，AP = BP，所以 CD⊥AB，弧 AD = 弧 BD，弧 AC = 弧 BC。在垂径定理中，直径垂直弦、平分弦、平分弦所对的一条弧、平分弦所对的另一条弧，这五个条件知其二可推三。
来看一个应用。例一，在直径为 650 毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图。若油面宽 AB = 600 毫米，求油的最大深度。同学们先按下暂停键，自主学习 5 分钟后再继续观看。把实际问题转化为数学问题是关键，这道题求油的最大深度，实际就是求弓形的高。我们做辅助线，过点 O 作 AB 的垂线交 AB 于点 C，交圆 O 于点 D，由垂径定理可得 AC = 1/2 AB = 300 毫米。连接 OA，得到直角三角形 OAC。设 CD 的长为 x，则 OC 的长为 325 - x。在直角三角形 OAC 中，根据勾股定理，OC2 + AC2 = OA2，列出方程 (325 - x)2 + 3002 = 3252，求出 x 的值，即油的最大深度为 200 毫米。同学们，做对了吗？
下面是一道变式训练，在直径为 400 毫米的圆柱形油槽内装入部分油，油面宽 320 毫米，求油的深度。同学们思考一下，这道题和前面的例一是否相同？给同学们 5 分钟时间，按下暂停键自主学习。这道题和例一最大的区别是没给出图形。油面宽为 320 毫米，对应有两种情况，一种是油面 AB 在圆心 O 的下方，另一种是油面 AB 在圆心 O 的上方。画出图后，第一种情况求油的深度 CD，等于半径 OD 减去弦心距 OC；第二种情况求油的深度 CD，等于半径 OD 加上弦心距 OC。剩下的做法和例一一样，连半径作弦心距，构造直角三角形，利用勾股定理求解。分析过程给大家了，请同学们课后完成解答过程。通过这道题要注意，今后遇到几何题目，特别是没给图形时，要思考是否需要分类讨论。
我们来归纳总结一下。在垂径定理的应用中，常涉及半弦长 a、圆心到弦的距离 d、半径 r 以及弓形的高 h 这四个基本量。它们之间的关系常通过构造直角三角形求得，在直角三角形中可得 r2 = a2 + d2，且半径与弦心距和弓形的高满足 r = d + h 。解题时常做的辅助线是做弦心距、连半径构造直角三角形。
接着看同圆或等圆中圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距也相等。如图，由∠AOB = ∠COD，可得弧 AB = 弧 CD，AB = CD，OE = OF。并且在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等，知道其中一组量可推出剩下三组。
来看一个例题。例 2，如图，∠AOB = 90°，C、D 是弧 AB 的三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证 AE = BF = CD。同学们按下暂停键，自主学习 5 分钟后再继续观看。通过前面例题知道，求线段长常利用垂径分弦构造直角三角形列方程求解。这道题求线段相等，在圆中求线段相等可利用弦和圆心角、弧之间的关系。题目已知 CD 是弧 AB 的三等分点，可得弧 AC = 弧 CD = 弧 BD，同弧所对的圆心角相等，所以∠AOC = ∠COD = ∠BOD = 30°。连接 AC 和 BD，可得 AC = CD = BD。要证明 AE = BF = CD，只需证明 AE = AC，BF = BD 就行。我们求出∠AOC = 30°，因为 OA = OC，所以∠OCA = 75°。又因为 OA = OB，∠AOB = 90°，所以∠OAB = 45°，利用外角可求出∠AEC = 75°，即∠AEC = ∠ACO，从而证出 AE = AC。同理可证 BF = BD，最后得到 AE = CD = BF。同学们观察解题过程，在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距这四个量可互相转换，能否灵活运用它们之间的转换关系是解题关键。解题时常做的辅助线还是作弦半径、作弦心距，或者连接弦。