师：各位同学，大家好。今天我们来共同学习初中数学沪科版九年级下册第24章第六节“正多边形与圆”的第一课时。首先，我们来观察一组图形，其中有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形以及正八边形。那么，什么样的多边形叫做正多边形呢？我们把各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。只是各边相等的多边形是正多边形吗？大家可以想象一下，把一个正方形推一把，这个正方形就变成菱形了。那只是各角相等的多边形是正多边形吗？我们也可以想象把一个正方形拉伸一下，它就变成矩形了。所以，各边相等和各角相等这两个条件缺一不可。
师：我们再来看，我们可以把一个正五边形放入一个圆中，使正五边形的各个顶点都在圆上；也可以把一个圆放入一个正五边形当中，使正五边形的各边都与圆相切。由此可见，正多边形和圆的关系非常密切。魏晋时期的数学家刘徽首创的割圆术，就是利用了正多边形与圆的关系，正多边形的边数越多，就越接近于圆。今天，我们就一起来探究正多边形与圆的关系。
师：首先，我们回忆一下圆心角、弧、弦的关系。在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧就相等，所对的弦也相等。也就是说，在这三组量中，只要有一组相等，其余两组量均相等。例如，若角AOD等于角AOC，我们就能得到弧AB等于弧AC，也能得到弦AB等于弦AC。当然，如果弧AB等于弧AC，或者弦AB等于弦AC时，其余两组量也是相等的。
师：我们再来回忆一下三角形与圆的关系。如果三角形ABC的三个顶点都在圆O上，那么三角形ABC就是圆O的内接三角形；如果三角形ABC三边都与圆O相切，那么三角形ABC就是圆O的外切三角形。下面，我们来看几个思考题。
师：第一题，如图，点A、B、C将圆O的圆周三等分，三角形ABC是否为正三角形呢？我们要证明一个三角形是正三角形，可以用三边都相等的三角形是正三角形这一判定方法，也可以证明它的三个角相等，还能用一个角是60度的等腰三角形是正三角形来证明。在这道题中，三角形ABC是正三角形。因为点A、B、C将圆O的圆周三等分，根据同圆中等弧所对的弦相等，所以AB等于BC等于AC，三边都相等的三角形是正三角形，由此可得出三角形ABC是正三角形。当然，我们也可以用同圆中等弧所对的圆周角相等，得到角A等于角B等于角C，根据三个角都相等的三角形是正三角形，同样能证明三角形ABC是正三角形。
师：我们再来看看第2题。如图，点A、B、C将圆O的圆周三等分，三角形DEF的三条边分别和圆O相切于点A、B、C，那么三角形DEF是正三角形吗？请大家思考一下，下面我们一起来解决这个问题。首先，我们连接OA、OB、OC，因为OA、OB、OC都是圆O的半径，所以它们相等。又因为点A、B、C将圆O的圆周三等分，所以弧AB等于弧BC，进而得到AB等于BC。由于三边对应相等的两个三角形全等，我们就能证明三角形OAB和三角形OBC全等，并且这两个三角形都是等腰三角形。根据全等三角形对应角相等，我们可以得出角1等于角2等于角3等于角4。又因为三角形DEF的三条边分别和圆O相切于点A、B、C，根据切线垂直于过切点的半径，我们就能得到角OAD等于角OBD等于角OBE等于角OCE等于90度。因为等角的余角相等，所以角5等于角6等于角7等于角8。又因为弧AB等于弧BC，所以AB等于BC。根据两角及其一夹边对应相等的两个三角形全等，我们能得到三角形ADB全等于三角形BEC，全等三角形对应角相等，所以角D等于角E。同理，我们也能得出角E等于角F，即角D、角E、角F都相等。因此，三角形DEF是正三角形。我们也可以用第二种方法来证明。
师：我们前面已经证明过三角形ADB全等于三角形BEC，同理，三角形ADB全等于三角形BEC全等于三角形CFA。而这三个三角形又是等腰三角形，所以我们能得到AD等于DB等于BE等于EC等于CF等于FA。进而我们能得到DE等于EF等于DF，三边都相等的三角形是正三角形，因此三角形DEF是正三角形。接下来，我们增加一点难度。
师：如图，点A、B、C、D、E在圆O上，并且弧AB等于弧BC等于弧CD等于弧DE等于弧EA，五边形ABCDE是圆O的内接正五边形吗？我们要证明一个五边形是正五边形，既要证明它的每条边都相等，也要证明它的每个角都相等。我们一起来看看，因为弧AB等于弧BC等于弧CD等于弧DE等于弧EA，在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所以AB等于BC等于CD等于DE等于EA，此时我们证明出了五边形的每条边都相等。
师：接下来看角，还是因为弧AB等于弧BC等于弧CD等于弧DE等于弧EA，所以弧BCE等于3倍的弧AB等于弧CDA。在同圆中，相等的弧所对的圆周角相等，我们就能得出角1等于角2。同理可得，角1、角2、角3、角4、角5都相等。这样我们就证明出五边形ABCDE是正五边形。又因为顶点A、B、C、D、E都在圆O上，所以五边形ABCDE是圆O的内接正五边形。
师：我们再来看看第二个思考题，TP、PQ、QR、RS、ST分别是以点A、B、C、D、E为切点的圆O的切线，五边形PQRST是圆O的外切正五边形吗？这道题我们可以类比前面证明三角形是正三角形的方法来证明。首先还是连接OA、OB、OC，因为OA、OB、OC都是圆O的半径，所以它们相等。又因为弧AB等于弧BC，所以AB等于BC。由三边对应相等的两个三角形全等，我们能得到三角形OAB全等于三角形OBC。这两个三角形又是等腰三角形，根据全等三角形对应角相等，我们能得到角1等于角2等于角3等于角4。而TP、PQ、QR分别是以点A、B、C为切点的圆O的切线，切线垂直于过切点的半径，所以角OAP等于角OBP等于角OBQ等于角OCQ等于90度。根据等角的余角相等，我们能得到角5等于角6等于角7。