师：今天我们一起来学习沪科版九年级下册第24章第七节弧长与扇形面积的第一课时。先来欣赏一组图片，中国的扇文化有着深厚的文化底蕴，是我国民族文化的一个组成部分，历来中国就有“制扇王国”之称。今天我们就来学习与扇子有关的知识，由折扇可以抽象成什么平面几何图形呢？
生：扇形。
师：那么扇形的定义又是怎样的呢？
生：我们把两条半径与所夹弧围成的图形叫做扇形。
师：在扇形的形成过程中，弧长与面积都在不断地发生变化。你们觉得与什么量有关呢？
生：与扇形的圆心角和半径有关。
师：下面我们就通过表格的形式一起来探究它们之间的关系吧。当半径为r，圆心角为360度时，所对的弧长和扇形面积是多少呢？
生：此时的弧长就是圆的周长，即2πr；此时的扇形面积就是圆的面积，即πr2。
师：那么当圆心角是180度呢？当圆心角是90度呢？
生：当圆心角是180度时，所对的弧长是整个圆周的一半，也就是1/2×2πr，即πr；90度的圆心角所对的弧长就是整个圆周的1/4，也就是1/4×2πr，即1/2πr。180度的圆心角所对的扇形面积，也就是圆面积的一半，即1/2πr2；90度的圆心角所对的扇形面积就是1/4πr2。
师：那么当圆心角是1度呢？
生：1度的圆心角所对的弧长就是整个圆周的1/360，也就是1/360×2πr，即πr/180；1度圆心角所对的扇形面积就是1/360πr2。
师：所以n度的圆心角所对的弧长和扇形面积是多少呢？
生：n度的圆心角所对的弧长就是nπr/180，所对的扇形面积就是nπr2/360。
师：这样我们就学习了弧长公式和扇形的面积公式。首先来看弧长公式，在半径为r的圆中，n度的圆心角所对的弧长c = nπr/180。同时得出了扇形的面积公式，在半径为r的圆中，n度的圆心角所对的扇形面积s = nπr2/360。学习了弧长公式和扇形的面积公式后，仔细观察这两个公式，你们发现了什么？
生：当半径一定时，圆心角越大，弧长和扇形面积就越大，此时弧长、扇形面积与圆心角成正比；当圆心角一定时，半径越大，弧长和扇形面积也越大，此时弧长与半径成正比，扇形面积与半径的平方成正比。
师：继续观察这两个公式之间有什么联系吗？
生：扇形面积公式中的分母360可以写成180×2，分子nπr2可以写成nπr×r，扇形的面积公式就可以写成(nπr/180)×(r/2)，再将nπr/180换成弧长c，这样就可以用弧长和半径来表示扇形的面积公式，得出扇形面积公式的另外一种表示方法，s = 1/2 cr。
师：扇形也有叫曲边三角形的，其面积公式是1/2弧长乘以半径。同学们回忆一下，这与哪个常见图形的面积公式相类似呢？
生：三角形。三角形的面积公式是1/2底乘以高，把扇形中的弧长看作底，把半径看作高就可以了。
师：这样我们就学习了扇形面积公式的两种表示方法。在解决问题时，我们可以根据条件的不同而选择不同的扇形面积公式。下面我们就用所学的知识来解决实际问题吧。例题一，滑轮装置如图，滑轮的半径r = 10厘米。当重物上升15.7厘米时，问滑轮的一条半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14）。请同学们思考一下，重物上升15.7厘米时点A运动的路径是什么呢？
生：点A运动的路径是15.7厘米的弧长。
师：而题目要求的角度就是这段弧长所对的圆心角。所以本题是利用弧长公式来求圆心角的度数。解：设半径OA绕轴心O按逆时针方向旋转n度。因为弧长公式c = nπr/180，其中c = 15.7，r = 10，所以nπ×10/180 = 15.7，解得n约等于90，所以滑轮按逆时针方向旋转的角度约为90度。
师：接着我们就来检验同学们学得怎么样吧？第一题，已知扇形AOB的半径为12厘米，∠AOB = 120度，求弧AB的长度和扇形AOB的面积。请同学们想一想。
生：根据弧长公式c = nπr/180，题目中的条件已经直接给出了半径和圆心角的度数，所以直接代入公式就等于120/180×π×12 = 8π。同理，根据所给条件扇形的面积公式，我们就会选择nπr2/360，也就等于120/360×π×122 = 48π。
师：再来看第二题。已知扇形的圆心角为150度，弧长为20π，求扇形的面积。请同学们思考一下。
生：根据扇形面积的两个公式，发现要求扇形的面积都需要知道扇形的半径。题目中的条件给出了圆心角和弧长，所以可以利用弧长公式先求出半径，再求扇形的面积。因为弧长公式c = nπr/180，其中n = 150，c = 20π，所以150/180×πr = 20π，解得r = 24。知道了扇形的半径和弧长，再带入扇形的面积公式，所以s = 1/2 cr = 1/2×20π×24 = 240π。