师：同学们，今天我们来学习正多边形与圆的第二课时，主要探讨正多边形的性质和相关概念。经过之前的学习，我们已经掌握了一些知识：不在同一条直线上的三个点确定一个圆；在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、弦心距，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等。从图中我们还能发现，对应的两个三角形是全等的等腰三角形。我们也了解了多边形外接圆和内切圆的概念：一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个圆就叫做这个多边形的外接圆；与多边形所有边都相切的圆，叫做这个多边形的内切圆。正多边形的定义是边相等且角也相等的多边形。正多边形与圆的关系是上节课的主要内容，将一个圆分成(n)条相等的弧（(n\geq3)），等分圆周时，既可以用量角器法任意等分圆周，特殊情况下也能用尺规作图法。依次连接各分点所得的多边形，就是这个圆的内接正(n)边形；经过各分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形，就是这个圆的外切正(n)边形。也就是说，把一个圆(n)等分能得到这个圆的内接正(n)边形和外切正(n)边形。那么，请问同学们，是不是任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆呢？这就是我们今天要探究的主要内容。
探究这个问题，我们可以先从特殊的正多边形入手，比如正三角形、正方形、正五边形，看看它们是不是都有一个外接圆和一个内切圆，然后再探讨一般情况下正多边形的情况。正三角形肯定都有一个外接圆和一个内切圆，接下来我们探究正方形。同学们，你们觉得任何正方形都有一个外接圆和一个内切圆吗？大家先自己画一画，再思考思考。
我们先来探究正方形是否都有一个外接圆。根据多边形外接圆的概念，要找一个圆，让正方形的四个顶点都在这个圆上。由圆的定义可知，平面内到定点距离等于定长的点在同一个圆上。所以我们要找一个点，使它到正方形四个顶点的距离都相等。这时我们会想到正方形的性质，正方形的对角线互相平分且相等，所以正方形对角线的交点到四个顶点的距离都相等。下面进行证明：
设正方形(ABCD)，对角线(AC)、(BD)交于点(O)，因为正方形对角线互相平分且相等，所以(OA = OB = OC = OD)。以点(O)为圆心，(OA)长为半径作圆，这个圆就是正方形(ABCD)的外接圆。所以，任何正方形都有一个外接圆。接下来我们探究正方形是不是都有一个内切圆，请同学们思考一下。
根据多边形内切圆的概念，要找一个圆与正方形的四条边都相切。因为正方形有一个外接圆，且正方形的四条边都相等，那么正方形的四条边就是它外接圆中相等的弦。在同圆中，相等的弦所对的弦心距也相等。我们过正方形外接圆的圆心(O)分别作(OE\perp AB)，(OF\perp BC)，(OG\perp CD)，(OH\perp DA)，垂足分别为(E)、(F)、(G)、(H)。
因为四边形(ABCD)是正方形，所以(AB = BC = CD = DA)，(AB)、(BC)、(CD)、(DA)是正方形(ABCD)外接圆(O)中相等的弦，在同圆中相等的弦所对的弦心距相等，即(OE = OF = OG = OH)。以点(O)为圆心，(OE)长为半径的圆，就是正方形(ABCD)的内切圆。综上，任何正方形都有一个外接圆和一个内切圆。下面我们来探究正五边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆，请同学们先思考一下。
我们先来探究正五边形是否都有一个外接圆。根据多边形外接圆的概念，要找一个圆，让正五边形的五个顶点都在这个圆上。因为不在同一条直线上的三个顶点确定一个圆，所以我们在正五边形的(5)个顶点中任取三个顶点作一个圆，然后证明其余两个顶点也在这个圆上。为了方便，不妨在正五边形(ABCDE)中取顶点(A)、(B)、(C)作圆(O)，接下来要证明点(D)和点(E)也在这个圆上。
我们连接(OA)、(OB)、(OC)、(OD)、(OE)，其中(OA)、(OB)、(OC)就是圆(O)的半径。要证明点(D)和点(E)在圆上，只需证明它们到圆心(O)的距离等于半径，也就是证明(OD = OA)、(OE = OA)。
因为(OA = OB = OC)，所以(\angle OAB = \angle OBA)，(\angle OBC = \angle OCB)。又因为正五边形各个内角都相等，设(\angle ABC = \angle BCD)，由等式性质可得(\angle ABC - \angle OBA - \angle OBC = \angle BCD - \angle OCB - \angle OCD)，即(\angle OAB - \angle OCD = 0)，也就是(\angle OAB = \angle OCD)。
观察(\triangle OAB)和(\triangle OCD)，在这两个三角形中，(OA = OC)，(\angle OAB = \angle OCD)，且正五边形五条边都相等，所以(AB = DC)。根据全等三角形判定定理（(SAS)），可得(\triangle OAB \cong \triangle OCD)，所以(OD = OA)，即点(D)在圆(O)上。