师：我们来学习 2.3 节用公式法求解一元二次方程的课时内容。首先，来看这节课的学习目标：第一，掌握利用面积法建立一元二次方程的数学模型；第二，能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题。
先回顾一元二次方程的一般式：$AX^2 + BX + C = 0$，其中$A$、$B$、$C$为常数，且$A≠0$。大家回忆一下，求解一元二次方程有哪几种常见方法呢？
生：常见方法有三种，第一种是直接开平方法，第二种是配方法，第三种是公式法。
师：非常好。当方程变形为$x^2 = A$（$A≥0$）时，可直接采用直接开平方法；当通过配方把一元二次方程配成$(x + m)^2 = n$（$n≥0$）时，可采用配方法。利用配方法可由一元二次方程的一般式推导出求根公式，利用求根公式求解一元二次方程时，要注意$b^2 - 4AC≥0$。
刚才复习了几种常见解法，现在看一个具体的一元二次方程：$2x^2 - 11x + 8 = 0$。思考一下，用刚才三种方法，哪种更简单？
生：二次项系数为$2$，配方比较麻烦，用求根公式更合适。
师：没错。这里$a = 2$，$b = -11$，$c = 8$，先算出$b^2 - 4ac = 57＞0$，说明方程有两个不相等的实数根。代入求根公式，可求出方程的两个实数根，$x_1 = \frac{11}{4} + \frac{\sqrt{57}}{4}$，$x_2 = \frac{11}{4} - \frac{\sqrt{57}}{4}$。
通过复习解法，这节课我们利用一元二次方程解决实际问题中的面积问题。看这样一个实际问题：四线三中有一块长$16$米、宽$12$米的矩形荒地，要在荒地上建一个花园，使花园面积为荒地面积的一半。大家思考如何设计。先回忆，矩形是什么对称图形？
生：矩形是轴对称图形，也是中心对称图形。
师：所以可利用对称性设计，容易得出以下四种方案。第一种，把矩形对折，设计出一个矩形花园，矩形花园的两个顶点作为荒地矩形长边上的中点；第二种，在矩形四条边上取中点，设计出的花园是菱形；第三种，利用面积公式找等量关系，设计出三角形花园；第四种，同样利用面积公式，设计出梯形花园。大家思考，梯形花园若占荒地面积一半，应满足什么条件？
生：梯形上底与下底的和应等于矩形的长，此时花园面积占荒地面积的一半。
师：这是利用对称性得出的四种设计方案。接下来，有三位同学给出了另外三种方案。
先看小明的方案，如图，他设计了一个矩形花园，花园四周小路宽相等。小明通过解方程，得出小路宽为$2$米或$12$米。我们分小组讨论，小明的答案正确吗？设小路宽为$x$米，利用面积公式，花园面积占荒地面积一半，面积确定，只要确定矩形花园的长和宽。花园宽为$12 - 2x$，长为$16 - 2x$，由此可得到一个一元二次方程。利用之前学的内容解出$x$的值为$2$或$12$。小明的求解正确，但这是实际问题，要检验。实际中，小路宽应取$2$米，$12$米要舍去，利用方程解决实际问题，一定要注意解是否符合实际意义。
再看小亮的方案，他设计了一个不规则花园，四个角是四个$\frac{1}{4}$圆。能帮小亮计算扇形半径吗？花园面积直接求不好求，但它占荒地面积一半，所以四个$\frac{1}{4}$圆面积之和就是荒地面积的一半。利用面积公式可得到一个关于$x$的一元二次方程，用直接开平方可求出，$x_1 = \sqrt{\frac{96}{\pi}} \approx 5.5$，$x_2 = - \sqrt{\frac{96}{\pi}}$。因为求的是扇形半径，负值舍去。对于不规则图形面积，可通过转化间接建立方程。
最后看小影的方案，她设计的花园是两条互相垂直且宽相等的小路，两条小路面积和即花园面积占荒地面积一半。直接求十字形面积，可通过平移方法。回忆平移性质，平移过程中图形形状、大小和面积都不变。把两条小路平移后，得到一个新矩形，宽为$12 - x$，长为$16 - x$，其面积占荒地面积一半。解这个方程可得$x$的值为$4$或$24$。本题设计的是小路，小路宽度不能超过荒地宽$12$米，所以$24$舍去。小影的方案可采用平移转化成矩形面积来求。