师：同学们，欢迎来到数学课堂。今天我们一起学习初中数学北师大版九年级上册第二章第五节——一元二次方程的根与系数的关系。前面我们学过一元二次方程，下面一起回顾相关知识。第一个问题，一元二次方程的一般形式是什么？
生：$ax2 + bx + c = 0$，$a≠0$。
师：第二个问题，其中$a$、$b$、$c$分别代表什么？哪一个有限制条件呢？
生：$a$表示二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，$a$不能等于$0$。如果$a = 0$，就变成一元一次方程了。
师：第三个问题，一元二次方程的求根公式是什么？
生：$x = \frac{-b \pm \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$，其中$b2 - 4ac \geq 0$。
师：好，那下面请同学们思考：方程的两个根如果为$x_1$和$x_2$，它与系数$a$、$b$、$c$除了求根公式，还有其他关系吗？我们带着这个问题解下列方程，并思考根与系数之间还有怎样的数量关系。同学们可以按暂停键解方程并思考后再继续学习。先看方程$x2 - 2x + 1 = 0$，解出来是多少？
生：解得$x_1 = 1$，$x_2 = 1$。
师：所以$x_1 + x_2$等于多少？$x_1×x_2$又等于多少呢？
生：$x_1 + x_2 = 1 + 1 = 2$，$x_1×x_2 = 1×1 = 1$。
师：第二个方程$x2 - 2\sqrt{3}x - 1 = 0$，解出来$x_1$、$x_2$是多少？
生：解得$x_1 = \sqrt{3} - 2$，$x_2 = \sqrt{3} + 2$。
师：那么两根之和与两根之积分别是多少？
生：两根之和$x_1 + x_2 = \sqrt{3} - 2 + \sqrt{3} + 2 = 2\sqrt{3}$，两根之积$x_1×x_2 = (\sqrt{3} - 2)×(\sqrt{3} + 2) = -1$。
师：方程$2x2 - 3x + 1 = 0$，解出的根是多少？
生：解得$x_1 = \frac{1}{2}$，$x_2 = 1$。
师：两根之和与两根之积呢？
生：两根之和$x_1 + x_2 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$，两根之积$x_1×x_2 = \frac{1}{2}×1 = \frac{1}{2}$。
师：方程$6x2 + 7x - 3 = 0$，根是多少？
生：解得$x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = \frac{1}{3}$。
师：两根之和与两根之积分别为多少？
生：两根之和$x_1 + x_2 = -\frac{3}{2} + \frac{1}{3} = -\frac{7}{6}$，两根之积$x_1×x_2 = -\frac{3}{2}×\frac{1}{3} = -\frac{1}{2}$。
师：通过观察我们发现两根之和与一次项系数和二次项系数有关，它等于一次项系数除以二次项系数值的相反数。我们来一起看一下方程。第一个方程，一次项系数为$-2$，二次项系数为$1$，所以$-2÷1 = -2$，它的相反数就等于$2$。第二个方程一次项系数为$-2\sqrt{3}$，二次项系数为$1$，所以$-2\sqrt{3}÷1 = -2\sqrt{3}$，它的相反数就等于$2\sqrt{3}$。第三个方程，一次项系数为$-3$，二次项系数为$2$，所以$-3÷2 = -\frac{3}{2}$，相反数就等于$\frac{3}{2}$。第四个方程，一次项系数为$7$，二次项系数为$6$，所以$7÷6 = \frac{7}{6}$，它的相反数就等于$-\frac{7}{6}$。同样的，我们再来看一下两根之积，发现两根之积与方程的常数项和二次项系数有关，它等于常数项除以二次项系数。来看方程一常数项为$1$，二次项系数为$1$，所以$1÷1 = 1$。第二个方程常数项为$-1$，二次项系数为$1$，所以$-1÷1 = -1$。第三个方程，常数项为$1$，二次项系数为$2$，所以$1÷2 = \frac{1}{2}$。第四个方程常数项为$-3$，二次项系数为$6$，那么就等于$-\frac{3}{6}$，化简就等于$-\frac{1}{2}$。好了，同学们，通过以上方程请同学们猜想，如果一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$，它的两个根分别是$x_1$、$x_2$，那么根与系数之间有怎样的数量关系呢？
生：猜想$x_1 + x_2$（两根之和）等于一次项系数除以二次项系数值的相反数，即$-\frac{b}{a}$；两根之积$x_1×x_2$等于常数项除以二次项系数，即$\frac{c}{a}$。
师：请同学们思考一下，是否对于任何一个一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$都成立呢？我们需要运用以前的知识加以证明。用什么知识加以证明呢？
生：一元二次方程的求根公式是用$a$、$b$、$c$来表示每一个根的，可以用求根公式将两根相加相乘来验证猜想。
师：非常好。首先我们来看一下两根之和$x_1 + x_2$，它等于$\frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$。通过计算化简得出两根之和等于$-\frac{b}{a}$。同样的，我们再用求根公式来表示一下两根之积$x_1×x_2$，它等于$\frac{-b + \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}×\frac{-b - \sqrt{b2 - 4ac}}{2a}$。通过计算化简得出两根之积等于$\frac{c}{a}$。好了，同学们，通过以上的猜想和证明，我们就得出一元二次方程的根与系数的关系。如果一个一元二次方程$ax2 + bx + c = 0$，$a≠0$，它的两个根分别是$x_1$和$x_2$，那么两根之和就等于$-\frac{b}{a}$，两根之积就等于$\frac{c}{a}$。要满足上述关系，有一个非常重要的前提条件，那就是$b2 - 4ac \geq 0$，只有保障$b2 - 4ac \geq 0$，我们才能够确保这个一元二次方程有两个实数根。同时还要注意当给出的一元二次方程不是一般形式时，我们要将其转化为一般形式，与$a$、$b$、$c$分别对应。一元二次方程的根与系数的关系，我们又称之为韦达定理。那么下面我们一起来了解一下，为什么称之为韦达定理呢？
生：韦达是法国的一位数学家，年轻时当过律师，后来致力于数学研究。他第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数，给代数理论研究带来了重大进步。他讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程的根与系数的关系。所以人们今天在叙述一元二次方程的根与系数的关系时，又被称之为韦达定理。在欧洲，人们称韦达为“代数学之父”。在法国和西班牙的战争中，韦达利用精湛的数学方法，成功破译西班牙的军事密码，为他的祖国赢得战争主动权。
师：好，到这里，我们已经学习了一元二次方程的根与系数的关系，下面请同学们不解方程，写出下列方程两个根的和与两根的积。方程$x2 - 6x - 10 = 0$，由方程可以知道$a$、$b$、$c$的值，利用根与系数之间的关系，两根之和等于$-\frac{b}{a}$，两根之积等于$\frac{c}{a}$，答案是多少？
生：两根之和等于$6$，两根之积等于$-10$。
师：同样的，看方程二$3x2 + 7x - 9 = 0$，$a$、$b$、$c$都是已知的，利用根与系数的关系，两根之和与两根之积分别是多少？