师：上节课我们学习了用树状图或列表法，求解连续抛掷两枚质地均匀硬币时，两枚正面向上、两枚反面向上、一枚正面向上一枚反面向上这三个事件发生的概率问题。我们知道抛掷一枚硬币会出现正面向上或反面向上这两种结果。那如果一次实验结果出现两种以上，还能用树状图或表格求解其发生的概率吗？又该如何求解呢？下面来看一个游戏。小明、小影和小凡做石头剪刀布游戏，游戏规则是：由小明和小影做石头剪刀布游戏，如果两人手势相同，那么小凡获胜；如果两人手势不同，就按照石头胜剪刀、剪刀胜布、布胜石头的规则，决定小明和小影中的获胜者。假设小明和小影每次出这三种手势的可能性相同，大家认为这个游戏对三人公平吗？在解决这个问题之前，同学们先回答以下三个问题。问题一：什么样的游戏是公平的？问题二：本题的游戏是否公平？如何体现？问题三：你们能分别求出小明、小影和小凡获胜的概率吗？我们先来回答第一个问题，什么样的游戏是公平的？
生：只有当参与游戏的各方获胜的概率相同时，这个游戏才公平。
师：非常正确。那我们如何求出小明、小影和小凡获胜的概率呢？因为小明和小影每次出这三种手势的可能性相同，所以可以利用树状图列出所有可能出现的结果。下面我们一起列一下这个树状图。一列表示小明每次出的手势，可能结果有三种，分别是石头、剪刀、布；第二列表示小影所出的手势，同样是石头、剪刀、布。由于小明与小影所出的手势互不影响，所以在小明出石头时，小影可以出石头、剪刀、布三种情况中的任一种，就会有三种结果，分别是（小明出石头，小影出石头）、（小明出石头，小影出剪刀）、（小明出石头，小影出布）。当然小明也有可能出剪刀，同样，在小明出剪刀的情况下，小影仍然可能出石头、剪刀、布，又有 3 种不同的情况，即（小明出剪刀，小影出石头）、（小明出剪刀，小影出剪刀）、（小明出剪刀，小影出布）。同学们，小明在一次游戏中还有可能出什么手势呢？
生：也有可能出布。
师：对了。那么在小明出布的情况下，小影会出什么手势呢？
生：会出石头、剪刀、布三种情况的任一种。
师：没错，所以又有三种不同的情况，即（小明出布，小影出石头）、（小明出布，小影出剪刀）、（小明出布，小影出布）。以上就是我们列出的树状图，同学们数一数一共有几种可能结果呢？
生：共有 9 种不同的结果。
师：两人手势相同的结果有三种，分别是（小明出石头，小影出石头）、（小明出剪刀，小影出剪刀）、（小明出布，小影出布）。按照游戏规则，这三种情况代表小凡获胜。我们按照概率计算公式，小凡获胜的概率为 3÷9 = 1/3。现在我们再来找一找小明胜小影的结果一共有几种？
生：小明胜小影的结果有三种，分别是（小明出石头，小影出剪刀）、（小明出剪刀，小影出布）、（小明出布，小影出石头）。
师：所以小明获胜的概率为 3÷9 = 1/3。最后我们来看一下小影胜小明的结果有哪几种？
生：小影胜小明的结果也有三种，即（小明出剪刀，小影出石头）、（小明出布，小影出剪刀）、（小明出石头，小影出布）。
师：所以小影获胜的概率为 3÷9 = 1/3。同学们来看一看，这三人获胜的概率分别是多少呢？
生：分别是 1/3。
师：所以这个游戏对三人来说是公平的。那同学们能否用列表法解决这一问题呢？现在我们用列表法列出所有可能出现的结果。列表如下，我们把列表示成小明出一次手势时的三种可能情况，分别是石头、剪刀、布；用行表示小影出一次手势时可能出现的三种情况，也是石头、剪刀、布。在交叉的位置，类似于坐标的方法，表示出两人每次出手势时可能出现的结果。例如（石头，石头）就表示小明出石头，小影也出石头；（石头，剪刀）就表示小明出石头，小影出剪刀。（剪刀，布）表示什么意思呢？
生：表示小明出剪刀，小影出布。
师：依次类推，表格中表示出了小明和小影所出手势的所有可能情况。同学们数一数一共有几种结果？
生：也是 9 种结果。
师：现在我们来找一找，分别代表小明、小影、小凡获胜的结果有几种情况。小明获胜的情况有三种，看表格中红色字体部分，（小明出石头，小影出剪刀），小明胜；（小明出剪刀，小影出布），小明胜；（小明出布，小影出石头），小明胜。小明获胜的结果数有三种，根据概率计算公式，小明获胜的概率为 3÷9 = 1/3。同学们再来找一找小影获胜的结果有哪几种？
生：看表中蓝色字体部分，（小明出剪刀，小影出石头），小影胜；（小明出布，小影出剪刀），小影胜；（小明出石头，小影出布），小影胜。所以小影获胜的结果也是三种，小影获胜的概率也是 3÷9 = 1/3。
师：最后表格中剩下绿色字体表示什么呢？
生：按照游戏规则，这三种情况表示小凡获胜。
师：所以小凡获胜的概率也是 3÷9 = 1/3。通过大家的共同努力，我们发现剪刀石头布这个游戏是公平的，也就是说对于参与游戏的各方获胜的概率是相同的。实际上在真正玩剪刀石头布时，双方做出的 3 种手势的可能性不一定相同，每个人都有自己的习惯和偏好。本例中，我们假设小明和小影每次做这三种手势的可能性相同，如果没有这种假设，后面的解法就缺乏理论依据。事实上，我们在将一个实际问题数学化时，往往不仅仅是一个抽象化的过程，而且也是一个理想化的过程。通过石头剪刀布的游戏，我们现在已经能够解决在一次实验中，如果出现 3 种结果，仍然能用树状图或列表法求解其发生的概率问题。如果一次实验的结果多于 3 种，又如何列树状图和表格来处理问题呢？同学们，我们一起来看下面这个游戏。这个问题看上去复杂，实际上等同于两人各掷一次均匀的骰子，将两人掷得的点数相加，点数之和为几的概率最大，选择这个数后，获胜的概率就大。同学们想一想，每一次掷骰子时所掷得的点数会出现几种情况呢？