师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版九年级上册第三章第二节——用频率估计概率。首先，我们来看本节课的学习目标。
我们知道，任意抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是0.5 。许多科学家都曾成千上万次地做过这个实验，部分结果如下：利莫弗抛掷2048次，正面朝上1061次，频率为0.518；布丰抛掷4040次，正面朝上2048次，频率为0.5069 ；威尔逊抛掷12000次，正面朝上6019次，频率为0.5016；当威尔逊的抛掷次数达到24000次时，正面朝上12012次，频率为0.5005。观察这些数据，你们获得了什么启示？
生：（思考后回答）实验次数越多，频率越接近概率。
师：非常正确。从这些实验可知，当试验次数很大时，一个不确定事件发生的频率一般稳定在相应的概率附近。所以，我们可以通过多次实验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的概率，这就是本节课我们要学习的内容——用频率估计概率。下面，请同学们思考以下三个问题：
第一，400个同学中有没有二人的生日相同（可以不同年）？
第二，300位同学中一定会有两个同学的生日相同吗？你们认为在多少个同学中才一定会有两个同学的生日相同呢？
第三，我认为咱们班50个同学中很有可能有二人的生日相同，这话你们相信吗？为什么？请同学们认真思考。
师：我们先来分析第一个问题。一年最多有366天，400个同学中一定会出现至少二人出生在同月同日，这就是抽屉原理，即把m个物品放进n个空抽屉中（m大于n），则一定有一个抽屉中放进了至少2个物品。对于第二个问题，利用抽屉原理可以得出，300位同学中不一定会有两个同学的生日相同。若一定要有两个同学的生日相同，则至少需要367个同学。
对于第三个问题，这是一个不确定事件，这个事件的发生具有随机性。如果50个同学中有二人的生日相同，我们不能说这个事件发生的概率就是1；同理，如果50个同学中没有二人的生日相同，我们也不能说这个事件发生的概率就是0。为了证明以上说法是否正确，我们可以采用大量的重复实验，用50个同学中有二人的生日相同的频率来估计这一事件发生的概率。下面我们就来完成这个实验：
第一，每个同学课外调查10个人的生日；
第二，从全班的调查结果中随机选取50个被调查人，看看他们中有无2个人的生日相同。每选取50个被调查人的生日为一次试验，重复尽可能多次实验，并记录在表格中。
第三，根据表格中的数据，估计50个人中有2个人的生日相同的概率。请同学们完成这个实验，并将结果记录在表格中。
因为50个人中有2个人的生日相同这是一个不确定事件，具有随机性，所以每个同学的实验结果可能都不尽相同。下面我把老师实验的结果展示一下：
实验总次数50次，其中45次出现2个人生日相同，频率为0.90；
实验总次数100次，其中98次出现2个人生日相同，频率为0.98；
实验总次数150次，其中144次出现2个人生日相同，频率为0.96；
实验总次数200次，其中194次出现2个人生日相同，频率为0.97；
实验总次数250次，其中242次出现2个人生日相同，频率为0.968。
师：在日常生活中，人们往往觉得两个人生日相同的可能性不大。但是通过观察表格中的数据，我们可以发现，随着实验总次数的增加，50个人中有2个人生日相同的频率越来越稳定在0.97附近。因此，我们可以估计50个人中有2个人的生日相同的概率大约是0.97 。同学们，你们的估计接近吗？通过上面的实验，你们能得到哪些结论呢？
生：（思考后回答）50个人中有2个人的生日相同，这个事件很有可能发生；当试验次数越多时，频率越稳定于概率；对于一些比较复杂或不能计算出概率的事件，我们可以通过试验求出频率，然后用频率来估计概率。
师：非常好。要想使这种估计尽可能精确，就需要尽可能多地增加调查对象，而这样做既费时又费力。那有没有更简洁的方法，不用调查也可估计出这一概率呢？我们可以这样做：
第一，分别在表示月和日的盒子中各抽出一张纸片，用来表示一个人的生日，并将这个结果记录下来，抽完后分别放回相应的盒子中；
第二，将上面的操作进行50次，这样我们就可以得到50位同学的模拟生日，这就是数学上常用的模拟实验。常见的模拟试验有摸球、扑克牌、转盘等。下面请同学们设计一个试验方案，估计6个人中有两个人的生肖相同的概率，请同学们认真思考并设计实验方案。
生：（思考后回答）可以在一个不透明的盒子中放入写有12生肖的纸片，搅拌均匀，并从中随机摸出一张纸片，用来表示一个人的生肖，并将这个结果记录下来。抽完后再把纸片放回盒子中，将上面的操作进行6次，这样就可以得到6个人的模拟生肖。再看这6个人中有无两个人的生肖相同，这样的实验尽可能多重复几次，然后用6个人中有两个人的生肖相同的频率来估计这一事件的概率。
师：非常好，这是一个开放性的问题，同学们的答案只要合理即可。频率可以估计概率，那能否说频率等同于概率呢？二者有着怎样的区别和联系呢？请同学们认真想一想。
生：（思考后回答）频率是在相同条件下进行重复试验时，事件发生的次数与试验总次数的比值，其本身是随机的，在试验前不能够确定，且随着试验的不同而发生改变；而一个随机事件发生的概率是确定的常数，是客观存在的，与试验次数无关。二者的联系是大量的重复试验中，随机事件发生的频率会呈现出明显的规律性，随着试验次数的增加，频率将会越来越集中在一个常数附近，具有稳定性，即试验频率稳定于其理论概率。
师：非常正确。那我们如何求一个随机事件发生的概率呢？通常有两种情况：
一般的，当试验的可能结果是有限的，且各种可能结果发生的可能性相等时，则用列举法，如前面我们学习的树状图、列表法等，再利用概率公式P(A)=m/n得出概率。
第二种情况是，当试验的所有可能结果不是有限个或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率，即在同样条件下，大量重复实验所得到的随机事件发生的频率的稳定值来估计这个事件发生的概率。下面我们就运用这些方法来解决以下问题。