师：同学们好，在这节课之前，大家已经学习完初中阶段的所有概率知识。本节课我们将进行系统的知识梳理。下面，我们带着以下学习目标走进今天的数学课堂。
首先，我们通过一个知识结构图来了解各知识点之间的内在联系。在概率的学习中，我们首先学习了各类事件的定义，知道事件可以分为必然事件、不可能事件和随机事件。那么，如何求简单随机事件的概率呢？主要有两种方法：一是用枚举法求概率，二是用频率估计概率。在枚举法求概率中，我们介绍了列表法和画树状图法。下面，我们将重点回顾这两种方法。
一、列表法。当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法。表格的构造特点是：用第一行表示一个因素包含的所有可能情况，用第一列表示另一个因素包含的所有可能情况，中间的表格则表示两个因素组合的所有可能情况，记为n。在所有等可能情况n中，再找到满足条件的事件个数m，最后代入公式计算，这个事件发生的概率P就等于n分之m。
二、画树状图法。当一次试验涉及两个或更多因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用画树状图法。例如，一个试验涉及三个因素：第一个因素有两种可能情况，第二个因素有三种可能情况，第三个因素有两种可能情况。树状图可以这样画：第一个因素用A和B表示两种等可能情况；第二个因素用1、2、3表示三种等可能情况；第三个因素用a和b表示两种等可能情况。由图可知，共有12种等可能的情况。
下面进入典型例题环节。
例一：给出下列事件：
某餐厅供应客饭，共准备两荤两素四种不同的菜肴，顾客任选一种，且选中素菜。
某100件产品全部为正品，今从中选出一件次品。
在一、二、三、四、五条线路停靠的车站里，张老师等候到6路车。
七人排成一排照相，甲、乙正好相邻。
在有30个空位的电影院里，小红找到了一个空位。
请将事件的序号填写在横线上：哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？
生：（思考后）由事件的定义可知，必然事件有5；随机事件有1和4；不可能事件有2和3。
师：正确。接下来看例二：一只箱子里共有3个球，其中有两个绿球、一个红球，它们除了颜色外均相同。
（1）从箱子中任意摸出一个球，放回箱子搅匀后再摸出一个球。求两次摸出的球都是绿球的概率。请同学们思考一下，该如何解答？
生：可以用两种方法求概率。
第一种是列表法：用第一行表示第一次摸球的所有可能情况，第一列表示第二次摸球的所有可能情况。由于有两个绿球，可分别记为绿1、绿2。由表可知，共有9种等可能情况，其中两次摸出绿球的有4种，所以概率为9分之4。
第二种是画树状图法：第一个因素用绿1、绿2、红表示；第二个因素分别对应绿1、绿2、红；绿1、绿2、红；绿1、绿2、红。由图可知，共有9种等可能情况，其中两次摸出绿球的有4种，所以概率为9分之4。
师：很好。（2）从箱子中任意摸出一个球，不放回箱子，搅匀后再摸出一个球。求两次摸出的球都是绿球的概率。请再思考。
生：同样可以用列表法或树状图法。列表时注意“不放回”，即第一次取到绿1后，第二次不能再取绿1。由表可知共有6种等可能情况，其中两次摸出绿球的有2种，所以概率为3分之1。
画树状图：第一个因素用绿1、绿2、红表示；第二个因素分别对应绿2、红；绿1、红；绿1、绿2。由图可知共有6种等可能情况，其中两次摸出绿球的有2种，所以概率为3分之1。
师：根据本题，同学们能说说“有放回”和“不放回”有什么区别吗？
生：针对本题，“有放回”是指先摸出一个球又放回，所以每次取球都有3种等可能情况；“不放回”是指摸出一个球后不再放回，所以第一次取球有3种等可能情况，第二次取球则只有2种等可能情况。
师：理解得很到位。我们再看变式训练：从箱子中任意摸出两个球，求两个球中一个是红球、一个是绿球的概率。
生：这可以理解为先摸出一个球不放回，再摸出一个球。树状图可以这样画：第一个因素对应绿1、绿2、红；第二个因素分别对应绿2、红；绿1、红；绿1、绿2。由图可知共有6种等可能情况，其中摸出一个红球和一个绿球的有4种，所以概率为3分之2。
师：正确。接下来看例三：如图，在三角形ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、AC边的中点，连接DE、EF、FD。现随机向三角形ABC内部掷一枚小针，求针尖落在三角形DEF区域内的概率。同学们该如何思考？
生：因为点D、E、F分别是三边中点，所以DE、EF、FD是三角形的中位线。于是DE平行于AC且等于AC的一半，等于CF，所以四边形DECF是平行四边形，三角形DEF的面积等于三角形CEF的面积。同理，三角形DEF的面积也等于三角形ADF和三角形BDE的面积。所以三角形DEF的面积与三角形ABC的面积之比为1比4。因此，针尖落在三角形DEF区域内的概率为4分之1。