师：同学们好，今天我们学习的内容是用配方法求解一元二次方程。初一上册我们学过一元一次方程，求解时主要通过去分母、去括号、移项、合并同类项，将系数化为一这些过程。初二上册我们求解过二元一次方程组，解方程组的思路是消元，主要通过加减消元和代入消元，消去其中一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程。
今天要学的一元二次方程，大家想一想，能不能用某些方法把它转化成一元一次方程来求解呢？好，同学们，请跟着老师的思路，我们一起看课件内容。首先看第一部分复习：如果(x)的平方等于(a)，那么(x)叫做(a)的什么根？
生：平方根。
师：对，要分清什么是平方根，什么是算术平方根。当被开方数(a)大于等于(0)时，第(2)小题中(x)的结果等于什么？
生：(x)等于正负根号(a)。
师：第(3)题，如果(x)的平方等于(64)，(x)应该等于多少？
生：(x)应该等于正负(8)，它们互为相反数。
师：看第(4)题，任何数都能作为被开方数吗？结合第(2)题，(a)大于等于(0)，想一想什么数不可以作为被开方数？
生：负数。
师：所以第(4)问答案是负数不可以作为被开方数。这部分要知道，一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；(0)的平方根是(0)；负数没有平方根。接下来看今天学习的内容。
首先是直接开方法，书上(36)页提到，在上一节的问题中，梯子底端滑行的距离(x)满足方程(x^2 + 12x - 15 = 0)，之前我们求出了(x)的近似值，现在能不能设法求出它的精确值呢？大家观察这个方程，它就是一元二次方程，这节课就是求解一元二次方程。试一试解下列方程，并说说所用的方法，和同伴交流。第一题(x^2 = 4)，怎么求解？
生：根据平方根的意义，正数的平方根有两个，它们互为相反数，所以(x_1 = 2)，(x_2 = -2)。
师：第二题，(x^2 = 0)呢？
生：根据平方根的意义，(x_1 = x_2 = 0)，(0)的平方根是(0)。
师：第三题，(x^2 + 1 = 0)，怎么做？
生：先把常数项(1)移到方程右边，得到(x^2 = -1)，因为负数没有平方根，所以原方程无解。
师：看例题。例(1)，利用直接开方法解下列方程。第一题，(x^2 = 6)，怎么解？
生：直接开方法，(x = \pm\sqrt{6})，写成(x_1 = \sqrt{6})，(x_2 = -\sqrt{6})。
师：第二题，(x^2 - 900 = 0)，第一步怎么做？
生：移项，得到(x^2 = 900)，然后直接开方，(x = \pm30)，写成(x_1 = 30)，(x_2 = -30)。
师：记住(x_1)、(x_2)一般要分开写。看后面这道题，小组讨论，对照上面的方法，怎么解方程((x + 3)^2 = 5)？这个方程和前面有什么不同？
生：前面方程的底是(x)，这道题的底变成了多项式(x + 3)。
师：对，但方法和之前一样，利用平方根的性质，(x + 3)应该等于多少？
生：(x + 3 = \pm\sqrt{5})，写成两个一元一次方程(x + 3 = \sqrt{5})，(x + 3 = -\sqrt{5})。方程的两个根，(x_1 = -3 + \sqrt{5})，(x_2 = -3 - \sqrt{5})。
师：我们把一元二次方程转化成两个一元一次方程，进而求出方程的解。归纳一下，一般对于可化为((x + m)^2 = n)的方程，对(n)进行分类讨论。当(n > 0)时，根据平方根的意义，方程有两个不相等的实数根(x_1 = \sqrt{n} - m)，(x_2 = -\sqrt{n} - m)；当(n = 0)时，方程有两个相等的实数根(x_1 = x_2 = -m)；当(n < 0)时，负数没有平方根，原方程无解。这就是直接开方法。下面两个图形各验证了什么公式呢？看第一个图形，是一个正方形，正方形面积等于边长平方，边长是(a + b)，所以((a + b)^2)是大正方形面积。用分割法看，大正方形可分成两个小正方形和两个长方形，大正方形面积还能怎么表示？
生：(a^2 + 2ab + b^2)。
师：所以得到完全平方公式((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)。看第二个图形，求灰色正方形面积，有哪两种方法？
生：第一种是((a - b)^2)，第二种是大正方形面积减去两块长方形面积，(a^2 - 2ab)，但多减了一次(b^2)，要加上(b^2)，即(a^2 - 2ab + b^2)。
师：这两个公式大家以前学过，就不详细讲解了。根据上面公式，看“做一做”，书本(36)页，填上适当的数，使等式成立。第一题，完全平方是((x + 6)^2)，用等号连接应该等于(x^2 + 12x +)多少？
生：加上(6)的平方，因为(12\div2 = 6)。
师：第二题，完全平方式，等号左边(4x)是两数(2)倍，(x)和谁相乘的(2)倍是(4x)？
生：和(2)相乘，所以是((x - 2)^2)，等号右边两数(2)倍是(4x)，另外一个数就是(2)，等号左边(x^2 - 4x + 2)的平方，可写成(4\div2)的平方。
师：第三题，(x^2 + 8x)这边要填什么？
生：(8x)是两数(2)倍，(x)和(4)相乘的(2)倍是(8x)，所以完全平方是((x + 4)^2)，等号右边写成相应形式，等号左边(x^2 + 8x + 4)的平方，可写成(8\div2)的平方。
师：观察等式左边常数项和一次项系数有什么关系？
生：对于二次项系数为(1)的完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方。
师：看书本练习第一题，能解哪些特殊的一元二次方程？第一个方程(x^2 = 1)，怎么解？
生：根据平方根的意义，(x_1 = 1)，(x_2 = -1)。
师：第二个方程((x + 1)^2 = 1)呢？
生：(x + 1 = 1)或(x + 1 = -1)，解得(x_1 = 0)，(x_2 = -2)。
师：第三个方程(x^2 + 2x + 1 = 1)，方程左边能写成什么？
生：写成完全平方式((x + 1)^2)，和第二个方程解相同。
师：看第二题，会解这些一元二次方程吗？第一个方程(x^2 = 5)，怎么解？
生：根据平方根的性质，(x_1 = \sqrt{5})，(x_2 = -\sqrt{5})。
师：第二个方程(2x^2 + 3 = 5)，怎么做？
生：移项得(2x^2 = 2)，两边同除以(2)，(x^2 = 1)，所以(x_1 = 1)，(x_2 = -1)。
师：第三个方程，等号左边(x^2 + 2x + 1)改写成完全平方式后是什么？
生：((x + 1)^2 = 5)，解得(x_1 = \sqrt{5} - 1)，(x_2 = -\sqrt{5} - 1)。
师：第四个方程((x + 6)^2 + 7^2 = 10^2)，和前面不一样，怎么解？
生：第一步移项，((x + 6)^2 = 10^2 - 7^2)，(100 - 49 = 51)，所以((x + 6)^2 = 51)，(x_1 = \sqrt{51} - 6)，(x_2 = -\sqrt{51} - 6)。
师：看第(3)题，能解方程(x^2 + 12x - 15 = 0)吗？遇到什么困难？能不能把它转化成上面方程的形式？和同伴交流。
生：困难在于方程左边不能写成完全平方式，需要配成完全平方式。
师：看例(2)，解方程(x^2 + 8x - 9 = 0)，第一步做什么？
生：移项，把常数项移到方程右边，得到(x^2 + 8x = 9)。
师：第二步呢？
生：将等号左边配成完全平方式，常数项等于一次项系数一半的平方，方程两边同时加上(4)的平方，得到(x^2 + 8x + 4^2 = 9 + 4^2)，整理成((x + 4)^2 = 25)。
师：第三步呢？
生：开方，(x + 4 = \pm5)，写成(x + 4 = 5)或(x + 4 = -5)，转化成两个一元一次方程，解得(x_1 = 1)，(x_2 = -9)。
师：用配方法求解一元二次方程的主要步骤是什么？
生：第一步移项，把常数项移到方程右边；第二步方程两边同时加上一个数的平方进行配方，配成完全平方式；第三步对完全平方式开平方运算；第四步求解一元一次方程。
师：通过例(1)，我们用配成完全平方式的方法得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫配方法。实质上是把一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，这样就转化为我们会解的方程了。看练习第三题，解决梯子底部滑动问题(x^2 + 12x - 15 = 0)，回顾步骤。第一步？
生：移项，将常数项(15)移到方程右边，得到(x^2 + 12x = 15)。
师：第二步？
生：配方，(x^2 + 12x)要加上(6)的平方，两边都加(6)的平方，得到((x + 6)^2 = 51)。
师：第三步？
生：方程左右两边同时开方，(x + 6 = \pm\sqrt{51})，写成(x + 6 = \sqrt{51})或(x + 6 = -\sqrt{51})，求解一元一次方程，(x_1 = \sqrt{51} - 6)，(x_2 = -\sqrt{51} - 6)。
师：回顾主要步骤，第一步移项，把常数项移到方程右边；第二步配方，配成完全平方式；第三步开平方；第四步解一元一次方程。同学们，做些练习题。第一题方程(x^2 - 4 = 0)，它的解选哪一项？
生：选(C)选项，移项(x^2 = 4)，根据平方根性质直接开平方(x = \pm2)。
师：第(2)题，用配方法解关于(x)的一元二次方程(x^2 - 2x - 3 = 0)，配方后的方程是哪个形式？(A)、(B)、(C)、(D)选哪一个？
生：首先移项(x^2 - 2x = 3)，第二步配方方程两边同时加(1)，得到((x - 1)^2 = 4)，选(A)选项。
师：好，看第三题，方程(x^2 = p)能直接开平方的条件是什么？
生：被开方数(p)要大于等于(0)，结果(x = \pm\sqrt{p})，写成(x_1 = \sqrt{p})，(x_2 = -\sqrt{p})。
师：看第(4)题。方程(x^2 = m - 1)，第一问，若方程有两个不相等的实数根，(m)应满足什么条件？
生：被开方数(m - 1)必须是正数，(m - 1 > 0)，(m > 1)。
师：第二问，方程有两个相等的实数根呢？
生：被开方数(m - 1 = 0)，(m = 1)。
师：第三问，若方程无实数根呢？
生：被开方数(m - 1 < 0)，(m < 1)。
师：看第(5)题，解下列方程。第一题，(x^2 - 4x + 4 = 5)，需不需要移项？
生：不需要移项，直接配完全平方式，得到((x - 2)^2 = 5)。第二步开平方，(x - 2 = \pm\sqrt{5})，写成(x - 2 = \sqrt{5})或(x - 2 = -\sqrt{5})，解得(x_1 = \sqrt{5} + 2)，(x_2 = -\sqrt{5} + 2)。
师：第二题，(x^2 - 8x + 1 = 0)，怎么做？
生：首先第一步移项，将常数项移到方程右边，(x^2 - 8x = -1)。第二步配方，方程两边同加一次项系数一半的平方，即加上(4)的平方，整理得((x - 4)^2 = 15)。第三步直接开平方，(x - 4 = \pm\sqrt{15})，解方程(x_1 = 4 + \sqrt{15})，(x_2 = 4 - \sqrt{15})。
师：看最后一道题，挑战自我解方程((x - 2)^2 = (2x + 5)^2)，怎么解？
生：方程左右两边都是完全平方式且相等，底有两种情况，相等或互为相反数。所以得到两个式子，(x - 2 = 2x + 5)，(x - 2 = -(2x + 5))。求解这两个一元一次方程，解得(x_1 = -7)，(x_2 = -1)。
师：今天的课后作业，必做题是书本(37)页，习题(2.3)第一题；选做题是课本(38)页，习题(2.3)的第二题和第三题。我们总结一下今天学习的内容。用配方法求解一元二次方程，要知道什么是配方法，配方法的基本思路，最重要的是用配方法解二次项系数为(1)的一元二次方程的基本步骤：第一步移项，第二步配完全平方式，第三步开平方，第四步解一元一次方程。时间有限，今天的课到此结束，谢谢大家。