师：同学们好，欢迎来到数学课堂。今天我们一起学习初中数学北师大版九年级上册第二章一元二次方程的回顾与思考。首先，来看本章的知识框图。本章从实际问题引入，抽象出一元二次方程模型，接着探究如何求解方程得到根，最终解决实际问题。这就是从实际出发，再回归实际的基本知识框架。
有了基本框架，我们通过知识要点完善知识框图，形成知识体系。下面回顾本章要点知识，老师将其归结为五点：一元二次方程的概念与近似解；一元二次方程的解法；一元二次方程根的判别式；一元二次方程根与系数的关系；一元二次方程的实际应用。
首先看第一个知识要点：一元二次方程的概念与近似解。同学们先按下暂停键，在脑海中回顾一下一元二次方程的概念。
师：好，我们一起来看。等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2的方程，就是一元二次方程。这里要注意三点：一是整式方程；二是只有一个未知数，即“一元”；三是最高次数是2，即“二次”。除了定义，我们还要掌握一元二次方程的一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a \neq 0$）。
关于一元二次方程的近似解，估计近似解时要先确定解的大致范围，然后在这个范围内有规律地取未知数的值逐步逼近。不熟悉的同学，请按下暂停键及时复习。
第二个知识要点：一元二次方程的解法。求解一元二次方程的基本思路是降次，把二次降为一次，将未知转化为已知。基本方法有四种：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法。其中公式法是由配方法推导出来的。
我们来看各种解法适用的方程类型。直接开平方法适用于形如$(x + m)^2 = n$（$n \geq 0$）的方程。配方法一般用于二次项系数为1的一元二次方程。对于一般形式的一元二次方程，在没有明确解题思路时，可考虑公式法。因式分解法要灵活运用，因为因式分解的方法较多，有提公因式法、公式法、十字相乘法等。这里只是推荐方法，同学们解题时要灵活选择，注意方法的多样性，保证准确率。
接下来看第三个知识要点：一元二次方程根的判别式。同学们先按下暂停键，回顾一下根的判别式相关知识。
师：好，我们一起来看。根的判别式用符号$\Delta$表示，$\Delta = b^2 - 4ac$。一元二次方程根的判别式与根的情况是：当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根；当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根；当$\Delta < 0$时，方程没有实数根。反之也成立。常见应用有两方面：一是不解方程，判断方程根的情况或证明方程根的情况；二是已知方程根的情况，确定方程中字母的值或取值范围。
下面看第四个知识要点：一元二次方程根与系数的关系。请大家按下暂停键，在草稿纸上写下一元二次方程根与系数的关系。
师：好，我们一起来看。如果一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$（$a \neq 0$）有两个实数根$x_1$、$x_2$，那么$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$，$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$，这就是一元二次方程根与系数的关系。
最后看第五个知识要点：一元二次方程的实际应用。老师列举了一元二次方程实际应用常见的几种类型。用一元二次方程解决实际问题的关键还是寻找等量关系，这和之前学习的一元一次方程、二元一次方程组、分式方程等是一样的。用一元二次方程解决实际问题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。至此，我们完成了本章知识的回顾，下面通过具体例题巩固这些知识要点。
首先看例一，同学们请按下暂停键，自己读题思考完成。
师：好，我们一起来看。已知关于$x$的方程$(m - 2)x^{\vert m \vert} + 3mx + 1 = 0$是一元二次方程，求$m$的值。这是关于$x$的方程且是一元二次方程，要满足含$x$的项最高次数为2，且系数不为0。所以可得$m - 2 \neq 0$，$\vert m \vert = 2$。由$m - 2 \neq 0$，得$m \neq 2$；由$\vert m \vert = 2$，得$m = \pm 2$。综上，$m = -2$。同学们做题时考虑全面了吗？有没有遗漏的地方？如果有，请按下暂停键及时订正。
下面请看例二，按要求解方程。请大家按下暂停键，在草稿纸上认真完成这4题解方程。
师：好，我们一起来看第一题，用配方法解方程$3x^2 + 18x + 24 = 0$。首先将$x$的系数化为1，方程两边同时除以3，得到$x^2 + 6x + 8 = 0$。把常数项移到方程右边，得$x^2 + 6x = -8$。配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，一次项系数是6，一半是3，平方就是9，得到$(x + 3)^2 = 1$。然后直接开平方，解得$x_1 = -2$，$x_2 = -4$。
下一题用公式法解方程$x^2 - 4x - 1 = 0$。用公式法解方程，要先确定方程是一般形式，本题就是一般形式，所以$a = 1$，$b = -4$，$c = -1$。计算$\Delta = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 20 > 0$。代入求根公式，解得$x_1 = 2 + \sqrt{5}$，$x_2 = 2 - \sqrt{5}$。
第三题用因式分解法解方程。这题用提公因式法，先把$3 - x$化为$-(x - 3)$，提取公因式$x - 3$，括号里剩下$x - 3 - 1$，即$(x - 3)(x - 4) = 0$。所以$x - 3 = 0$或$x - 4 = 0$，解得$x_1 = 3$，$x_2 = 4$。
第4小题选择合适的方法解方程$(x - 1)^2 - 9 = 0$。这里选择直接开平方方法，把$-9$移到方程右边，得$(x - 1)^2 = 9$，直接开平方得到$x - 1 = \pm 3$，所以$x_1 = 4$，$x_2 = -2$。请同学们看看自己刚做的这4题是否正确，有错误及时订正。
我们来看例3。请大家先自己读题思考，在草稿纸上写出解题过程。
师：我们一起来看例3。关于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^2 - 2x + 1 = 0$，（1）若方程有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围；（2）若方程的一个实数根为$-1$，求$m$的值及方程的另一个实数根。
我们一个一个解决。先看第一小问，若方程有两个不相等的实数根，求$m$的取值范围。关于一元二次方程实数根的问题，先想到根的判别式。当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实根，但前提是方程是关于$x$的一元二次方程，所以$m - 1 \neq 0$。由题可得$m - 1 \neq 0$ ①，$\Delta > 0$ ②。由①得$m \neq 1$，由②，$\Delta = (-2)^2 - 4(m - 1) \times 1 > 0$，解得$m < 2$。综上，$m < 2$且$m \neq 1$。
好，接下来看第二小问。若方程的一个实数根为$-1$，把$x = -1$代入原方程可得关于$m$的一元一次方程，解这个方程得$m = -2$。$m$的值求出后，原方程化为$-3x^2 - 2x + 1 = 0$，再选择熟悉的方法解这个一元二次方程，解得$x_1 = -1$，$x_2 = \frac{1}{3}$。所以$m$的值等于$-2$，方程的另一个实数根是$x = \frac{1}{3}$。本题涉及知识点较多，总结一下：已知方程根的情况，确定方程中字母的值或取值范围；一元二次方程根的概念；选用合适的方法解方程。
最后我们来看例四。随着经济建设的发展，某省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业。据统计，2019年全省5G基站的数量约为3.6万座。若计划到2020年底，全省5G基站的数量是2019年的$\frac{5}{3}$倍；到2022年底，全省5G基站的数量将达到17.34万座。（1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？（2）按照计划，求2020年底至2022年底全省5G基站数量的年平均增长率。
请同学们按下暂停键，认真审题，找出关键信息，完成本题。
师：我们一起来看。先看第一小问，计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？题目中说2020年底全省5G基站的数量是2019年的$\frac{5}{3}$倍，2019年全省5G基站数量约为3.6万座，所以$3.6 \times \frac{5}{3} = 6$（万座）。写上答案，计划到2020年底，全省5G基站的数量约为6万座。
接着看第二小问，按照计划求2020年底至2022年底全省5G基站数量的年平均增长率。设这个年平均增长率为$x$。我们来完成表格，2020年底、2021年底、2022年底全省5G基站的数量分别是多少万座？第一问已求出2020年底全省5G基站数量是6万座。根据年平均增长率为$x$，可得2021年底全省5G基站的数量是$6(1 + x)$万座。从2021年至2022年增长率也是$x$，所以2022年底全省5G基站的数量是$6(1 + x)^2$万座。题目中又告诉我们2022年底全省5G基站的数量是17.34万座，所以可列出方程$6(1 + x)^2 = 17.34$。用直接开平方方法解得$x_1 = 0.7$，$x_2 = -2.7$，其中$-2.7$不符合题意舍去。最后写上答案，2020年底至2022年底，全省5G基站数量的年平均增长率为70%。请大家检查一下刚才的解题过程是否完整，有无错误。
下面我们来总结本节课内容，同时完善本章知识框图。我们从实际问题出发，通过设未知数列方程抽象出一元二次方程模型，然后探究解方程的方法。近似解通过估算得到，精确解的解法有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，所有解法的基本思路都是降次，把二次问题转化为一次问题。在探究一元二次方程根的过程中，还有两个重要知识点：一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系。得到一元二次方程的解后，要通过检验才能判断是否是实际问题的答案。我们从实际问题出发，通过建模转化最终解决实际问题，数学来源于生活又服务于生活。
最后来看本节课的作业，基础性作业有5个小题，请同学们截图保存。拓展性作业有两个小题，也请同学们截图保存。
这节课就上到这里，同学们再见。