师：同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。今天我们来学习北京师范大学出版社九年级上册第五章第一节投影的第二课时。我们先一起复习上节课所学的知识。
- 什么是投影现象和投影面？
- 什么是中心投影？
- 请举出几个中心投影的实例。
生：手电筒、路灯和台灯的光线可以看成是从一个点发出的，这样光线所形成的投影称为中心投影。
师：同学们说得非常好。生活中常见的各种灯，它们发出的光线可以看成从一个点发出的，这样光线所形成的投影就是中心投影的实例。从数学的角度来看，中心投影的光线相交于一点。假如光线不是相交于一点，而是互相平行，它的投影又是怎样的呢？这就是本节课要研究的主题——平行投影。
接下来请看这组图片，同学们请思考，这组图片的影子是由什么光源照射形成的？
生：是太阳光线，可以看成平行光线。
师：对，由平行光线形成的投影是平行投影。我们来看左边这幅图，平行光线与投影面不垂直。再来看右面的这幅图片，平行光线与投影面垂直，此时我们称这种情况为正投影。学习平行投影概念后，我们一起深入探究平行投影下物体影子的变化规律吧。请同学们按下暂停键，花2到3分钟思考以下两题。
- 取若干长短不等的小木棒、三角形或矩形纸片，观察它们在太阳光下的影子。固定投影面，改变小木棒或纸片的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
- 固定小木棒或纸片，改变投影面的摆放位置和方向，它们的影子分别发生了什么变化？
此时老师将实物抽象成数学图形，小木棒抽象成线段，三角形纸片抽象成三角形，矩形纸片抽象成矩形。老师利用画图软件模拟实际情况，制作数学模型，请同学们仔细观看动态演示过程。
- 固定投影面，改变图形的位置和方向。此时我们来观察线段平行于投影面时，会发现它的影子和线段本身形状一样，长度相等。接着改变线段的位置与方向，当它倾斜于投影面时，线段的长短发生了改变。再仔细观察，当线段垂直于投影面时，线段变成了一个点。接着我们再来看三角形会发生什么样的变化。当三角形平行于投影面时，它的影子和它图形有什么关系呢？
生：三角形和它的影子是全等的，即形状相同、大小相等。
师：接着老师来改变三角形的摆放位置与方向。在这一动态演示过程中，我们发现三角形的形状发生了改变，三角形的大小也发生了改变。此时我们再来观察三角形垂直于投影面时，发现它的影子变成了一条线段。接着我们再来看一下矩形的影子变化情况吧。当矩形平行于投影面时，会发现矩形的影子与矩形形状相同，大小相等。接着改变矩形的位置与方向，此时发现矩形的影子形状发生了改变，它的影子由一开始的矩形变成了平行四边形，同时它的面积也发生了改变。我们接着往下看，当矩形垂直于投影面时，它影子变成了一条线段。
同学们，经过刚刚3个动态演示试验，我们是否就可以得出结论了呢？
生：固定投影面，改变图形的位置和方向，图形的影子也会发生改变，它们的形状会变，它们的大小也会发生改变。
师：对。接着我们来看第二个模拟试验，固定图形，让投影面发生改变，看看它的影子会发生什么样的变化。
我们先选取线段。在改变投影面的位置时，发现线段的投影长短也发生了变化。接着再来看一下三角形的变化情况，改变投影面，在改变投影面的过程中，发现三角形的投影也发生了改变，它的形状发生改变，面积发生改变。我们有如下总结，改变物体或投影面，物体的影子也会随之改变。刚才我们通过动画演示和纸上作业了解平行投影的一些特点。我们知道太阳光线可以近似地看成平行光线，所以同学们课下可以在太阳下进行实际的操作与观察，加深对平行投影的认识。我们一起来看看古人利用太阳的影子发明了什么。
在中国古老的天文学和数学著作《周髀算经》中有着这样的记载，“冬至日晷长，夏至日晷短”。这里所提到的“晷”便是影子，“日晷”指的就是太阳的影子。日晷是一种测定时间的装置，是古代人类在计时领域的重大发明。日晷由石质圆盘和铜制指针构成，铜制指针叫做晷针，它垂直穿过石质圆盘中心，并指向北极星方向。石质圆盘也叫晷面，在它的正反两面分别刻有12个格子，每个格子代表一个时辰，也就是现在的两个小时。
那这个既没有时针、分针、秒针，也没有金属机械在运转的家伙是怎么计时的呢？
生：随着太阳的东升西落，物体被照射出的影子会随之自西向东移动，一天中影子位置的变化也就反映出时间的变化。中国地处北半球，早晨的阳光照射在日晷上，晷针的影子会投在晷面的西面，影子随阳光一起慢慢地自西向东移动。移动中的晷针影子就像是现代时钟的时针，晷面是钟表的表面，这样就可以显示出时间了。
师：同学们通过刚刚的视频内容，你能解决这道问题吗？联系生活，图中的三幅图是在我国北方某地某天上午不同时刻的同一位置拍摄的。
- 在三个不同时刻同一棵树的影子长度不同，请将它们按照拍摄的先后顺序进行排列，并说明你的理由。
同学们，请按下暂停键思考，尝试解决这道问题。
生：根据在太阳光线下，同一物体影子上午是由长变短，下午由短变长。北半球的早晨影子指向西，上午逐渐由西指向西北，下午逐渐指向东北，傍晚指向东。所以这三张拍摄的顺序为丙、乙、甲。
师：同学们，你排对了吗？对此，同学们可以在课下实际观察。
同学们，根据我们刚刚发现在太阳下物体影子的变化规律，你能解决这道问题吗？请同学们按下暂停键思考并做出回答。
- 下面是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子，将它们按时间先后顺序进行排列，并说一说你的理由。
生：排列顺序为c、d、a、b。在北半球，上午的影子由长变短，下午的影子由短变长，同时影子的方向也会发生改变。早晨影子指向西，上午逐渐由西指向西北，下午逐渐指向东北，傍晚指向东。这就是排列c、d、a、b的顺序依据。
师：接着我们来看第二题。
- 在同一时刻，两棵树影子的长度与它们的高度之间有什么关系？
同学们请按下暂停键思考并尝试作答。
生：根据生活经验，同一时刻两棵树在太阳光下形成的影子，树越高，它的影子就越长。阳光的光线可以近似地看成平行光线，大树及其树的影子和光线，还有小树及其树的影子和光线，构成两个三角形，这两个三角形相似。根据三角形相似的性质可以得出大树影长比小树影长等于大树高比上小树高，或者也可以将上一个等量关系进行变形为大树高比大树影长等于小树高比小树影长。