师：同学们大家好，欢迎来到数学课堂，很高兴能和大家一起继续探究反比例函数的图像与性质。这是北师大版九年级上册第六章反比例函数第二节反比例函数的图像与性质第二课时的内容。上节课，我们学习了反比例函数的图像以及决定图像位置的因素。本节课，我们将探究反比例函数的性质。
首先，我们对上两节课的内容进行回顾。下列函数中哪些是反比例函数？根据反比例函数的概念，一般形如(y = \frac{k}{x})（(k)为常数，(k≠0)）的函数是反比例函数。因此，答案是2、4、5。
上两节课，我们利用类比的方法探究了反比例函数的概念和图像，得出反比例函数的图像是由两支曲线组成。当(k＞0)时，图像分布在第一、三象限；当(k＜0)时，图像分布在第二、四象限。
这节课，我们一起来探究反比例函数的性质。观察反比例函数(y = \frac{2}{x})、(y = \frac{4}{x})、(y = \frac{6}{x})的图像，如图6 - 4，大家能发现它们的共同特征吗？函数图像分别位于哪几个象限呢？
生：这几个函数图像都位于第一、三象限。通过观察图形就能得到，也可以通过函数表达式分析。这几个函数的反比例系数(k)值分别为2、4、6，(k)都大于0，所以函数图像分别位于第一、三象限。
师：函数图像与(x)轴相交吗？与(y)轴相交吗？
生：观察图像可知，函数图像既不与(x)轴相交，也不与(y)轴相交。因为反比例函数中变量(x)和变量(y)都不为0。
师：在每一象限内，随着(x)值的增大，(y)的值是怎样变化的？能说明原因吗？现在我们以反比例函数(y = \frac{4}{x})为例来探究这个问题。我们先看第一象限的分支，从左往右看点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置从高到低逐渐变化。这说明当自变量(x)的值逐渐增大时，(y)的值逐渐减小。再看第三象限的分支，从左往右看点的横坐标从小到大逐渐变化，点的位置也是从高到低逐渐变化，也就是说当自变量(x)的值逐渐增大时，(y)的值同样逐渐减小。这是从“形”的角度得到的结论。从“数”的角度理解，看列表中的数值，(y)随(x)的增大而减小。那么，“当自变量(x)的值逐渐增大时，(y)的值随着逐渐减小”这句话对吗？
生：看列表中的两组数值，当(x = - 4)时，(y = - 1)，对应的点位于第三象限；当(x = 2)时，(y = 2)，对应的点位于第一象限。从左往右，(x)的值从(- 4)到(2)是增大的，而(y)的值从(- 1)到(2)也是增大的。所以这句话不准确。
师：怎样修改呢？
生：当我们观察的点位于同一个象限时，这句话是正确的，但观察整个图形时就有问题了。所以在这句话中加上“在每一象限内”，修改为“(k = 4)时，在每一象限内，当自变量(x)的值逐渐增大时，(y)的值随着逐渐减小”。同样，对于反比例函数(y = \frac{2}{x})、(y = \frac{6}{x})，在每一象限内，随着(x)值的增大，(y)的值也逐渐减小。
师：同学们，请猜想并归纳当(k＞0)时，反比例函数的增减性。
生：利用从特殊到一般的数学思想，可以得出当(k＞0)时，在每一象限内(y)的值随(x)值的增大而减小。必须具备“在每一象限内”这个条件。也可以说，当(x＞0)时，在每一支曲线上，(y)的值随(x)值的增大而减小；或者当(k＞0)时，(x＞0)，(y)随(x)值的增大而减小，(x＜0)，(y)也随(x)值的增大而减小。
师：接下来，请再观察反比例函数(y = \frac{-2}{x})、(y = \frac{-4}{x})、(y = \frac{-6}{x})的图像，能发现它们的共同特征吗？请按下暂停键仔细思考。
生：函数图像都分别位于第二、四象限，函数图像都不与(x)轴和(y)轴相交。在每一象限内，随着(x)值的增大，(y)的值逐渐增大。同样利用从特殊到一般的数学思想，可以得出当(k＜0)时，在每一象限内，(y)的值随(x)值的增大而增大。
师：因此，我们得出反比例函数图像的性质：当(k＞0)时，在每一象限内(y)的值随(x)值的增大而减小；当(k＜0)时，在每一象限内(y)的值随(x)值的增大而增大。
下面我们用这些性质来解决一些问题。练习一：下列函数中，其图像位于第一、三象限的有哪些？在其图像所在象限内(y)的值随(x)值的增大而增大的有哪些？因为图像位于第一、三象限，能得到什么？
生：(k＞0)，所以答案是1、2、3。这三个函数在每一象限内，(y)的值随(x)值的增大而减小。图像位于第二、四象限，(y)的值随(x)值的增大而增大的答案是4。
师：第二题，已知点(( - 6, y_1))、(( - 4, y_2))在反比例函数(y = \frac{- 6}{x})的图像上，比较(y_1)与(y_2)的大小。怎么做呢？
生：通过函数表达式可知(k = - 6)，(k＜0)，这两个点的横坐标都是负数，所以这两点都在同一象限内。根据反比例函数的性质，当(k＜0)时，在每一象限内，(y)的值随(x)值的增大而增大。所以当(x)由(- 6)到(- 4)增大时，(y_1)到(y_2)也随之增大，即(y_1＜y_2)。这是利用反比例函数的性质得到的结果。也可以画出这个反比例函数的图像，在图像上描出这两个点的大致位置，从图像上可以看到(y_1＜y_2)。还可以将(x = - 6)，(x = - 4)分别代入表达式中，求得(y_1 = 1)，(y_2 = 1.5)，比较这两个数值的大小，得到(y_1＜y_2)。
师：可见解决这一问题的方法很多，既可以从“形”的角度通过观察解决，也可以从“数”的角度进行分析。下面看第2小题，请同学们按下暂停键思考并解决。
我们可以用方法一，利用反比例函数的性质求解，因为这两点都在同一象限内；也可用方法二，借助反比例函数图像来解决；在反比例函数表达式确定的情况下，还可利用方法三，代入求值来解决。
第三小题，已知点(( - 4, y_5))、((6, y_6))在反比例函数(y = \frac{- 6}{x})的图像上，比较(y_5)与(y_6)的大小。这个问题还能像刚才那样直接运用反比例函数的性质来解决吗？
生：运用这一性质时要注意“在每一象限内”这个条件，这个问题中两个点的横坐标一负一正，不在同一个象限内，所以不能直接运用这一性质。可以借助函数的图像来解决，在图像上描出这两个点的大致位置，通过观察图像可得(y_5＞y_6)。当然，求函数值的方法在这里也适用。