师：同学们好，欢迎来到数学课堂，今天我们一起来学习成比例线段第二课时。首先，我们回顾一下上节课所学内容。第一，什么是成比例线段？四条线段(a)、(b)、(c)、(d)，如果(a:b = c:d)，即(\frac{a}{b}=\frac{c}{d})，那么这四条线段(a)、(b)、(c)、(d)叫做成比例线段。第二，比例的基本性质。如果(a:b = c:d)，那么(ad = bc)；如果(ad = bc)，其中(a)、(b)、(c)、(d)都不为(0)，那么(a:b = c:d)。第三，如果(5m = 3n)，你能得到(m:n)吗？那么(n:m)呢？
同学们仔细思考会发现，我们可以利用上面的比例基本性质来进行计算，能很轻松地得出(m:n = \frac{3}{5})，而(n:m = \frac{5}{3})。同学们在解答的时候千万不要把它们弄颠倒了。接下来，我们一起来探寻新知，找出更多的比例关系。
首先是合比的性质。如图，已知(\frac{BD}{AD}=\frac{CE}{AE}=\frac{1}{2})，你能求出(\frac{BD + AD}{AD})与(\frac{CE + AE}{AE})的值吗？
我们从图像中可以计算出各条线段的长度，然后把各条线段的长度代入所给的关系式，来计算出这两个比值各为多少。同学们再仔细观察一下，除了直接计算出各条线段的长度代入之外，你还有没有其他的思路来解决此题？
同学们仔细观察会发现，我们的已知条件与要求的比值关系有相同的地方。(\frac{BD + AD}{AD})可以化成(\frac{BD}{AD} + 1)，(\frac{CE + AE}{AE})可以化成(\frac{CE}{AE} + 1)。由此我们可以计算出这两个比值分别都等于(\frac{3}{2})，所以它们的值还是相等的。也就是说，我们通过已知条件，不需要去把每一条线段都计算出来，就可以得出这两组比值了。
那么如果我们给出的条件是(\frac{AB}{BD}=\frac{AC}{CE})，你又能找出(\frac{AB - BD}{BD})与(\frac{AC - CE}{CE})有怎样的关系呢？我们类比第一题会发现，它们也可以写成已知条件整体减(1)。所以左侧等于(\frac{AB}{BD} - 1)，右侧等于(\frac{AC}{CE} - 1)。因此这两个式子还是相等的。
在整个求解的过程中，我们会发现它们变化之后的值还是相等的。通过对刚才问题的分析与探究，请同学们再认真思考一下。已知(a)、(b)、(c)、(d)这(4)个数，如果(a:b = c:d)，那么(\frac{a + b}{b}=\frac{c + d}{d})和(\frac{a - b}{b}=\frac{c - d}{d})成立吗？为什么？通过认真思考，我们会知道由线段的比，我们最终可以得出数的比，所以我们由此归纳总结，得出合比的性质。我们的结论是，如果(a:b = c:d)，那么(\frac{a \pm b}{b}=\frac{c \pm d}{d})。这个结论是成立的。
同学们，合比的性质我们已经探究得出了，接下来我们一起来探究等比的性质。
如图，我们看到的是两个矩形，(\frac{AB}{HE})、(\frac{BC}{EF})、(\frac{CD}{FG})、(\frac{AD}{HG})，它们的值相等吗？我们通过观察图形，很容易得出矩形四条边的长度，所以它们对应的比值关系也很容易计算。
同学们最终计算出来这(4)组比值结果都是相等的，都等于(2)。
那么(\frac{AB + BC + CD + AD}{HE + EF + FG + HG})的值又是多少？
同学们通过计算会发现它们的比值依然为(2)，且等于之前的每一组比值。在整个求解的过程中，你会发现两个矩形对应边的比值和两个矩形最终周长的比值是相等的。由此我们再一次由两条线段的比得出两个量的比，从而思考，已知(a)、(b)、(c)、(d)、(e)、(f)这(6)个数也满足这种关系，那么(\frac{a + c + e}{b + d + f}=\frac{a}{b})成立吗？为什么？我们由刚才矩形的对应边的比值关系得出了它的周长比值关系，从而我们归纳总结出等比的性质。结论：如果(a:b = c:d =\cdots = m:n)，其中(b + d +\cdots + n \neq 0)，那么(\frac{a + c +\cdots + m}{b + d +\cdots + n}=\frac{a}{b})。
下面让我们通过练习来巩固本节课的知识。
第一题：已知(\frac{a}{b}=\frac{2}{3})，求(\frac{a + b}{b})与(\frac{a - b}{b})的值。同学们先分析后解答。
我们分析发现此题使用的是合比的性质。我们可以很轻松地得出(\frac{a + b}{b}=\frac{a}{b} + 1)，(\frac{a - b}{b}=\frac{a}{b} - 1)。从而很容易计算出它们的结果，我们得出(\frac{a + b}{b}=\frac{5}{3})，(\frac{a - b}{b}=-\frac{1}{3})。
第二题：在(\triangle ABC)与(\triangle DEF)中，若(\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{3}{4})，且(\triangle ABC)周长为(18)厘米，求(\triangle DEF)的周长。
同样，我们先分析后解题，我们发现此题使用等比的性质来解决。我们知道(\triangle ABC)周长就是(AB + BC + CA)，(\triangle DEF)的周长就是(DE + EF + FD)，因而我们会得出它们的周长比也等于(\frac{3}{4})，从而很轻松地得出(\triangle DEF)的周长等于(24)厘米。
通过刚才两道练习的巩固，相信同学们已经能够熟练掌握了，下面我们来解决一道有一定难度的习题。
若(a)、(b)、(c)都是不等于(0)的数，且(\frac{a + b}{c}=\frac{b + c}{a}=\frac{c + a}{b}=k)，求(k)的值。同学们先思考一下，然后我们再共同分析。同学们在审题的时候要注意，题目说(a)、(b)、(c)都是不为(0)的数，那我们就要考虑(a + b + c)的问题，因为后面已知条件出现它们和的形式，所以我们要考虑(a + b + c)等不等于(0)的问题。它们三个都不等于(0)，但不代表它们的和不等于(0)。