师：同学们，大家好，欢迎来到数学课堂。非常高兴能和大家一起探究平行线分线段成比例，这是初中数学北师大版九年级上册第四章图形的相似第二节的内容。通过上一节的学习，我们知道了什么是两条线段的比，了解了成比例线段的概念以及比例的基本性质，比如比性质与合比性质，这些都为本节课的学习奠定了基础。后面我们还将学习相似多边形以及相似三角形的有关内容，所以本节课的内容起着承上启下的作用，至关重要。
首先，我们来回忆一下什么是两条线段的比。哪位同学知道？
生：选用同一个长度单位量得两条线段(a)、(b)的长度分别为(m)、(n)，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即(AB)比(CD)等于(m)比(n)，或者写成(\frac{AB}{CD}=\frac{m}{n})。
师：非常好。这里需要注意的是，线段(AB)与线段(CD)的长度单位要统一。两条线段的比实际上就是两个数的比，在求两条线段的比的时候，一定要注意对应的顺序，不能颠倒。
上节课我们还学习了成比例线段的概念，它刻画了四条线段具有某种特殊的数量关系。哪位同学来说说？
生：在四条线段(a)、(b)、(c)、(d)中，如果(a)与(b)的比等于(c)与(d)的比，即(\frac{a}{b}=\frac{c}{d})，那么这四条线段(a)、(b)、(c)、(d)叫做成比例线段，简称比例线段。
师：很好。成比例线段也是有顺序的。在比例式(a:b = c:d)中，我们把(a)、(d)叫做比例外项，(b)、(c)叫做比例内项。外项之积等于内项之积，即(ad = bc)。如果(b = c)，即(a:b = b:d)，那么此时(b)叫做(a)、(d)的比例中项，(b)的平方等于(ad)。
同学们，在八年级上册，我们已经学习了勾股定理，知道如何在方格纸中求出格点线段的长。接下来，就让我们一起进入今天的探究之旅。
如图4 - 6，小方格的边长都是1，直线(L_1\parallel L_2\parallel L_3)，分别交直线(m)、(n)于点(A_1)、(A_2)、(A_3)、(B_1)、(B_2)、(B_3)。请你利用勾股定理计算这几条线段的长度。
生：通过计算可得(A_1A_2 = \sqrt{2})，(A_2A_3 = 4\sqrt{2})，(A_1A_3 = 5\sqrt{2})，(B_1B_2 = \sqrt{5})，(B_2B_3 = 4\sqrt{5})，(B_1B_3 = 5\sqrt{5})。
师：很好。接下来请你根据上一节学过的线段的比的有关内容来计算这几组线段的比值。请同学们按下暂停键开始计算。
（一段时间后）
师：好，我们来看看计算结果。
生：通过计算求得(\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{1}{4})，(\frac{B_1B_2}{B_2B_3}=\frac{1}{4})，(\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{1}{5})，(\frac{B_1B_2}{B_1B_3}=\frac{1}{5})，(\frac{A_2A_3}{A_1A_3}=\frac{4}{5})，(\frac{B_2B_3}{B_1B_3}=\frac{4}{5})。
师：观察这几组线段的比值，你有什么发现？
生：(\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3})，(\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{B_1B_2}{B_1B_3})，(\frac{A_2A_3}{A_1A_3}=\frac{B_2B_3}{B_1B_3})。结合上一节成比例线段的知识，我们不难发现(A_1A_2)、(A_2A_3)、(B_1B_2)、(B_2B_3)这四条线段成比例，同理，第二组和第三组中的四条线段也成比例。
师：非常棒。接下来我们将(L_2)向下平移到如图4 - 7的位置，直线(m)、(n)与(L_2)的交点分别为(A_2)、(B_2)。那么我们在问题一中发现的结论还成立吗？请同学们按下暂停键计算这几组线段的比值。
（一段时间后）
师：好，哪位同学来说说计算结果？
生：通过认真计算，我们得到(\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{3}{2})，(\frac{B_1B_2}{B_2B_3}=\frac{3}{2})，(\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{3}{5})，(\frac{B_1B_2}{B_1B_3}=\frac{3}{5})，(\frac{A_2A_3}{A_1A_3}=\frac{2}{5})，(\frac{B_2B_3}{B_1B_3}=\frac{2}{5})。所以每组线段的比值分别相等，也就是每组中的4条线段对应成比例。
师：很好。接下来请同学们思考，如果不在方格纸中，而是在平面上任意做三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？问题一和问题二都是在方格纸中，平行线与两条直线的交点都在格点上，是两种特殊的情况，这样的特殊情况便于我们通过计算得到结论。在此基础上，问题三则更加一般化，我们无法通过计算得到结论，但是我们可以根据上面的特殊情况进行大胆地归纳猜想。
对于问题3中的一般情况，问题一中的结论仍然成立。刚刚我们经历了从特殊到一般的探索，认识了平行线分线段成比例这一基本事实，也就是两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。那如何理解对应线段成比例？我们不妨来看一下这幅图，(L_1\parallel L_2\parallel L_3)，直线(AC)和直线(DF)被(L_1)、(L_2)、(L_3)所截，那么对应线段成比例可以是(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF})，也可以是(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF})，或者(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF})。我们还可以根据比例的基本性质将以上几组比例式改变形式，得到它们的变式。至此，我们对平行线分线段成比例的基本事实有了更深刻的了解，而且还知道了如何用几何语言来表示这一个基本事实。
下面我们来看一道习题，已知两条直线被三条平行线所截得线段的长度如图所示，求(x)的值。
生：通过观察不难发现，这四条线段(3)、(x)、(4)、(7)是成比例线段。所以由题意可得，(\frac{3}{x}=\frac{4}{7})，所以(x = \frac{3}{4}×7 = \frac{21}{4})。
师：非常好。接下来请大家观察图4 - 8，直线(a\parallel b\parallel c)，分别交直线(m)、(n)于点(A_1)、(A_2)、(A_3)、(B_1)、(B_2)、(B_3)，过点(A_1)做直线(n)的平行线分别交直线(b)、(c)于点(C_2)、(C_3)，如图4 - 9。那么右下图中有哪些成比例线段？
生：因为直线(m)、(n)被三条平行线所截，所以根据平行线分线段成比例可以得到(\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{B_1B_2}{B_2B_3})，(\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{B_1B_2}{B_1B_3})，(\frac{A_2A_3}{A_1A_3}=\frac{B_2B_3}{B_1B_3})。又因为(A_1C_3)与直线(m)平行，容易得到四边形(A_1B_1B_2C_2)是平行四边形。根据平行四边形对边相等，能够得到(A_1C_2 = B_1B_2)。同理，(C_2C_3 = B_2B_3)。于是我们将刚才得到的比例式中这两组等量替换得到(\frac{A_1A_2}{A_2A_3}=\frac{A_1C_2}{C_2C_3})，(\frac{A_1A_2}{A_1A_3}=\frac{A_1C_2}{A_1C_3})，(\frac{A_2A_3}{A_1A_3}=\frac{C_2C_3}{A_1C_3})。