师：大家好，这节课我们来学习菱形的性质与判定第二课时。首先看学习目标：第一，经历探索、猜测和证明的过程，理解并掌握菱形的判定方法；第二，经历利用菱形的定义探究菱形判定定理的过程，培养动手实验、观察推理的意识，发展逻辑思维能力和演绎推理能力。
师：我们先来回顾相关知识点。菱形的定义是什么？上节课我们知道，菱形的定义是有一组邻边相等的平行四边形。菱形有哪些性质呢？我们从边、角、对角线、对称性几个方面梳理。边的方面，菱形四条边都相等，对边平行；角的方面，菱形对角相等；对角线方面，菱形对角线互相垂直且平分；对称性方面，菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在直线，同时它也是中心对称图形，两条对角线交点是对称中心。
师：还记得平行四边形的性质定理和判定定理吗？八年级学习过，平行四边形性质定理有三个：第一，平行四边形对边相等且平行；第二，平行四边形对角相等；第三，平行四边形对角线互相平分。平行四边形判定定理有四个：第一，两组对边分别相等的四边形是平行四边形；第二，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；第三，两组对角分别相等的四边形是平行四边形；第四，对角线互相平分的四边形是平行四边形。当然，平行四边形还可以用定义判定，即两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
师：根据菱形定义，我们能直接得到菱形的一个判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。其几何语言为：因为四边形ABCD是平行四边形，AB = AD（一组邻边相等），所以四边形ABCD是菱形。
师：同学们思考一下，菱形还有其他判定方法吗？大胆猜测。我们来看三位同学的猜想。第一位同学猜想：对角线互相垂直平分的四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形。他猜想的依据是平行四边形的一些性质定理与判定定理互为逆命题，所以根据菱形性质大胆猜想。
师：再看第二位同学的猜想，他认为对角线互相垂直平分的四边形与对角线互相垂直的平行四边形一样，四边相等的四边形与一组邻边相等的平行四边形一样。大家觉得他的猜想有道理吗？因为对角线互相平分的四边形就是平行四边形，所以他把对角线互相垂直平分换成对角线互相垂直，把四边形换成平行四边形；又因为平行四边形对边相等，再加上一组邻边相等，所以他这样认为。
师：第三位同学赞同第二位同学的猜想，但他觉得虽然本质一样，初始条件不同，且之前学过平行四边形判定方法，所以他认为对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边相等的四边形是菱形。
师：这三位同学的猜想是否正确呢？如何证明？看这题，如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD。求证平行四边形ABCD是菱形。我们分析一下，题目说在平行四边形ABCD中，所以OA = CO。又因为AC⊥BD，此时BD是AC的垂直平分线，所以BA = BC，这样就能利用菱形定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形，证明平行四边形ABCD是菱形。
师：下面看证明过程：因为四边形ABCD是平行四边形，所以OA = OC（平行四边形对角线互相平分）。又因为AC⊥BD，所以BD是线段AC的垂直平分线，所以BA = BC（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），所以四边形ABCD是菱形（依据菱形定义）。
师：这里的BA = BC还有其他证明方法吗？很多同学应该想到了，我们可以通过证明三角形全等。题目已证OA = OC，又因为AC与BD垂直，所以∠AOB = ∠COB。再加上OB为公共边，所以△AOB≌△COB，根据全等三角形对应边相等，AB = BC，从而也能证明四边形ABCD是菱形。
师：回顾这个证明过程，题目给的是对角线互相垂直的平行四边形，通过两种证明方法都能证明它是菱形。因此我们得到菱形的第二个判定方法：对角线互相垂直的平行四边形是菱形，这也是菱形的一个判定定理。其几何语言为：因为四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD（对角线垂直），所以四边形ABCD是菱形。
师：接下来做个练习。已知如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD、AC、BC相交于点E、O、F，即EF是AC的垂直平分线。求证四边形AECF是菱形。我们分析题目条件，在平行四边形ABCD中，所以AE∥CF，所以∠EAO = ∠FCO。又因为EF垂直平分AC，所以OA = OC。再加上∠AOE与∠COF是对顶角相等，所以很容易证明△AOE≌△COF，从而得到AE = CF。此时已能初步判定四边形AECF是平行四边形，再加上AC与EF垂直，根据刚刚菱形的判定定理，就能证明这个四边形是菱形。