师：同学们，大家好！今天我们来学习初中数学北师大版八年级上册第一章勾股定理第一节——探索勾股定理。本节课的学习目标有两个：一是利用拼图法、面积法验证勾股定理的正确性；二是能把实际问题转化为数学问题，运用勾股定理进行简单计算。同学们，上节课我们已经学习了勾股定理，还记得它的内容吗？下面通过两个例题复习回顾一下。
勾股定理：在$Rt\triangle ABC$中，两直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$，那么三边关系为$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。
例1：如图，点$E$在正方形$ABCD$内，满足$\angle AEB = 90^{\circ}$，$AE = 6$，$BE = 8$，求阴影部分的面积。
在$\triangle ABE$中，因为$\angle AEB = 90^{\circ}$，所以这是一个直角三角形。要求阴影部分面积，需用正方形面积减去这个小直角三角形的面积。要求正方形面积，需要求其边长，而边长恰好是直角三角形的斜边。借助勾股定理可得$AB^{2} = AE^{2} + BE^{2}$，即$AB = \sqrt{6^{2} + 8^{2}} = 10$，所以正方形面积为$10^{2} = 100$。三角形面积为$\frac{1}{2}×6×8 = 24$，则阴影部分面积为$100 - 24 = 76$。所以第二题选C，同学们，做对了吗？
师：上节课我们已经学会用数格子、测量等方法验证了勾股定理，那还有其他更科学的方法去验证吗？我们先画一个直角三角形，分别以这个直角三角形的三边为边长，向外做正方形，你能利用这个图形证明勾股定理的正确性吗？你是怎么做的？与同伴交流一下。
对于这个图，小明同学拼出了图2和图3。这里有三个问题：
将图2、图3中三角形和正方形的面积用$a$、$b$、$c$的关系式表示出来。
写出图2、图3中正方形$A$、$B$、$C$、$D$面积的关系式，有几种表达方式？
能分别利用图2、图3验证勾股定理吗？请同学们快速思考。
师：好，我们来看第一个问题。图2中三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，正方形面积分别为$a^{2}$、$b^{2}$、$c^{2}$、$(a + b)^{2}$。图3中三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，正方形面积分别为$a^{2}$、$b^{2}$、$c^{2}$、$(b - a)^{2}$。同学们，做对了吗？
第二个问题，图2中正方形$A$、$B$、$C$、$D$的面积可以表示为$(a + b)^{2}$，也可以表示为$c^{2} + 4×\frac{1}{2}ab$。图3中正方形$A$、$B$、$C$、$D$的面积可以表示为$(b - a)^{2}$，也可以表示为$c^{2} - 4×\frac{1}{2}ab$。
第三个问题，能利用图2、图3验证勾股定理吗？可以，我们可以利用第二个问题中正方形$A$、$B$、$C$、$D$面积相等列等式化简得到。同学们，上节课我们认识了勾股定理，它的内容是什么？现在会验证了吗？勾股定理的证明方法有300多种，大家有自己的方法吗？接下来我给大家介绍几种方法。
方法1：就是刚刚图2中的大正方形$BCD$，它的面积可以表示为$(b + a)^{2}$，也可以表示为$c^{2} + 4×\frac{1}{2}ab$。利用这两个式子都代表大正方形面积，得到等式，经过化简可得$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，这里的$a$、$b$、$c$恰好是直角三角形三边。
方法2：如图，是刚刚图3中的大正方形，我们发现大正方形面积可以表示为$c^{2}$，也可以表示为$(b - a)^{2} + 4×\frac{1}{2}ab$。利用大正方形面积相等得到$c^{2} = 4×\frac{1}{2}ab + (b - a)^{2}$，经过化简又得到$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，从而验证了勾股定理。
方法3：美国总统证法。不难发现，整体是一个直角梯形，被分成了三个直角三角形，其中有两个直角三角形全等。借助方法一和方法二利用面积相等，可得$\frac{1}{2}(a + b)^{2} = 2×\frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^{2}$，经过化简得到$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，再次验证了勾股定理，即两直角边的平方和等于斜边的平方。
方法4：我国古人画的青朱出入图。大家看它的构造过程，发现了什么？青朱出入图不用一个字就能表达出$a^{2} + b^{2} = c^{2}$，这是古人的智慧。著名数学家华罗庚先生曾说，如果要去外星球，带什么都不如带上青朱出入图和勾股定理，他相信外星球若有高级生物，一定认识它们。这就是验证勾股定理的4种方法，同学们学会了吗？接下来做一个练习，观察下图，用上节课所学数格子的方法判断图3中两个三角形的三边是否满足$a^{2} + b^{2} = c^{2}$。请同学们快速完成。