师：同学们好，本节课我们学习初中数学北师大版八年级上册第七章第五节三角形内角和定理相关内容。首先，请同学们想一想，上节课我们学习了什么内容呢？
生：上节课我们学习了三角形内角和定理，三角形的内角和等于180度，这个定理主要讲述了三角形三个内角之间的关系。
师：非常好。那我们在小学的时候还学习过三角形三边之间的某些关系，请同学们想一想，三角形的边还有哪些关系呢？
生：我们知道任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，这两个关系是构成三角形的三边需要满足的条件。
师：没错。加上上节课学习的三角形内角和等于180度，这些就是我们已经学过的三角形的边角关系。那么三角形还有其他的边角关系吗？本节课我们一起来探索一下。首先同学们想一想，在一个三角形花坛的外围走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度，角一、角二、角三，那么回到原来位置时，方向与出发时相同，一共转了多少度？同学们思考一下。
生：想要探索转了多少度，实际上也就是需要求出图形中角一、角二、角三个角的度数。我们知道角一、角二、角三个角度之和应该是三个平角之和，减去三角形的三个内角之和，这样就能很容易得到三角形角一、角二、角三个角度之和是360度。
师：非常棒。那请同学们观察图形中的角一、角二和角三这三个角有什么特殊的地方吗？我们把这三个角中的其中一个角拿出来分析一下。首先请同学们观察图形，在图形中角一的两条边与三角形ABC的两条边有什么关系？再观察角一的顶点与三角形ABC的顶点有什么关系？请同学们思考一下。
生：我们会发现角一的顶点是三角形ABC的顶点，角一的一条边是三角形内角的一条边，角一的另一条边是该内角另一条边的反向延长线，角一满足以上三个特点。
师：很好。满足以上三个特点的角，我们可以把它叫做三角形ABC的外角。也就是说，三角形ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为三角形ABC的外角。那么在图形中，角一是三角形ABC的外角。接下来请同学们思考，如图，延长AC到E，此时图形中的角二是三角形ABC的一个外角吗？图形中的角三是三角形ABC的一个外角吗？
生：观察图形我们可以发现，角二的顶点是三角形ABC的顶点，角二的一条边BC是三角形内角的一条边，角二的另一条边是三角形ABC内角另一条边的反向延长线，根据外角的概念可以得到角二是三角形ABC的一个外角。而角三与三角形ABC的角ACB互为对顶角，它并不是三角形ABC的一个外角。
师：非常正确。那请同学们想一想，三角形每个顶点处有几个外角，它们有怎样的关系呢？
生：在三角形ABC中，以顶点C为例，在顶点C处我们会发现有角一和角二两个外角。同理可以推得在顶点A和顶点B处也都均有两个外角。所以三角形每个顶点处有两个外角。图形中的角一和角二互为对顶角，它们相等。所以我们可以得到三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角且相等的关系。
师：很棒。通过以上分析，我们归纳总结出三角形的外角应具备的条件：第一，角的顶点是三角形的顶点；第二，角的一边是三角形的一边；第三，角的另一边是三角形中一边的延长线。以上三个条件是三角形的外角应具备的条件。同时我们通过探究得到，每个三角形都有6个外角。我们学习了三角形外角的概念，那三角形的外角和三角形的内角之间有怎样的关系呢？下面请同学们观察。在如图中，角一与三角形ABC的三个内角之间有什么关系？同学们思考一下。
生：从图形中我们可以发现，角一是三角形ABC的一个外角，角一的一条边CD是由三角形ABC的边AC经过延长得到的，所以A、C、D三点共线，那么我们可以得到角一和角二在一条直线上，是互补的关系。所以可以得到角一与角二互补，角二是三角形ABC的一个内角。
师：很好，那角一和三角形ABC剩下的内角之间还有关系吗？
生：由上节课的学习可知，三角形的三个内角之和为180度，而由刚刚的结论，角一加角二等于180度。经过等量代换，我们可以得到角一等于角A加角B。
师：非常好。我们通过观察和分析得到了两个结论，角一与角二互补，角一等于角A加角B。那请同学们思考，我们上面的结论怎么样证明呢？请同学们尝试着证明以下结论：已知三角形ABC，求证角ACD等于角A加角B，角ACD大于角A，角ACD大于角B。
生：证明：因为角A加角B加角ACB等于180度，所以角A加角B等于180度减角ACB。又因为角ACD加角ACB等于180度，所以角ACD等于180度减角ACB。根据等量代换，我们可以得到角ACD等于角A加角B，从而可以得到角ACD大于角A，角ACD大于角B。
师：很棒。通过上面的结论，我们归纳得出三角形内角和定理有关外角的两个推论。首先推论一，我们也可以把它叫做定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和。符号语言：在图形中，因为角一是三角形ABC的外角，所以角一等于角B加角C。在这一定理中，要注意三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，注意是不相邻的两个内角，所以与角一不相邻的内角是角B和角C。那么我们还可以得到推论二：三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。符号语言：因为角一是三角形ABC的外角，所以角一大于角B，角一大于角C。这一定理其实由上面的定理可以直接得到。因为三角形的一个外角是等于它不相邻的两个内角的和，所以它一定大于任意一个与它不相邻的内角。
在上面我们得到了两个定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。在这里我们通过三角形的内角和定理直接推导出两个新定理，像这样由一个基本事实或定理直接推出的定理叫做这个基本事实或定理的推论。推论可以当作定理使用，也就是说我们刚刚的两个推论其实也就是两个定理。接下来我们把刚刚学习的两个定理应用在做题中，请同学们看例一。