师：同学们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级上册第二章第四节——估算。首先，我们来看一下这节课的学习目标：一、了解估算的基本方法；二、能够运用估算解决生活中的实际问题，以及比较两个数或两个式子的大小。
在前面，我们已经了解了估算一个用根号表示的无理数，一般采用夹逼的方法。例如，要估算$\sqrt{20}$的大小，首先要找出$20$邻近的完全平方数。在日常生活中，我们往往会遇到估算一个比较大的数的平方根或立方根，该怎么办呢？请看情境：
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园。已知这块荒地的长是宽的两倍，它的面积为$40$万平方米。
第一小问：公园的宽大约是多少？它有$1$千米吗？
假如公园的宽有$1$千米，那么它的长是宽的两倍，长则为$2$千米。此时它的面积$S = 2000×1000 = 2000000$平方米，$2000000$平方米大于$40$万平方米，所以它的宽没有$1$千米。
第二小问：如果要求结果精确到$10$米，它的宽大约是多少？请同学们思考。设它的宽为$x$，那么它的长可以表示为$2x$。
根据题意，我们可以列出方程：$2x×x = 400000$，即$x = \sqrt{200000}$。进一步求出它的近似值，$x$约等于$450$。
第三小问：该公园中心有一个圆形花园，它的面积是$800$平方米，你能估计它的半径吗？要求误差小于$1$米。我们设圆形花园的半径为$r$。根据题意可列方程：$\pi r2 = 800$，$r2\approx254.8$，$r = \sqrt{254.8} \approx 16$。那么这些值都是怎么近似得到的呢？
请同学们继续来看这么一个问题：下列的计算结果正确吗？你是怎样判断的？与同伴进行交流。
第一个是$\sqrt{0.43} \approx 0.066$；第二个式子$\sqrt[3]{900} \approx 96$；第三个式子$\sqrt{2536} \approx 60.4$，那么这三个结果正确吗？请同学们思考。
好，我们一起来看。对于第一个式子，我们把式子左边的数$\sqrt{0.43}$进行平方，得到结果等于$0.43$。同样把式子右边$0.066$进行平方，结果等于$0.004356$，得到的结果就是$\sqrt{0.43} > 0.066$。同学们，你能看懂这样操作的原理吗？
这是对式子两边同时进行平方，比较平方后的数值大小。左边得到的结果是$0.43$，右边平方得到的结果是$0.004356$，很显然，左边数平方的结果大于右边数平方后的结果。因此，左边式子原来的数大于右边式子原来的数。按照这种方法，我们可以比较第二个式子，那么第二个式子应该怎样进行操作呢？
我们对式子左边的数$\sqrt[3]{900}$要进行立方，同样对式子右边$96$也进行立方，得到的结果分别为$900$和$884736$。很显然，$\sqrt[3]{900} < 96$。按照类似的方法，我们来比较第三个式子是否近似相等。
对第三个式子左边的数进行平方，得到的结果为$2536$。对右边的数$60.4$也进行平方，得到的结果为$3648.16$。很显然，$\sqrt{2536} < 60.4$，因此这三个式子的结果都不正确。
你能估算$\sqrt[3]{900}$的大小吗？结果精确到$1$。因为$\sqrt[3]{900}$的立方等于$900$，又因为$93 < 900 < 103$，所以$\sqrt[3]{900} > 9$，小于$10$。所以$\sqrt[3]{900}$的估算值为$9$或$10$，因为结果要求精确到$1$。那么$\sqrt[3]{900}$究竟是取$9$还是取$10$呢？此时我们取$9$和$10$之间的数$9.5$进行立方，得到的结果为$857.375$，小于$900$。所以$\sqrt[3]{900} > 9.5$，小于$10$。根据四舍五入，所以$\sqrt[3]{900}$的最终估算值为$10$。
这么一种操作方法就叫做夹逼法，从两个方向中间夹击，不断地逼近该数的真实值。我们一起来总结一下夹逼法估算的一般步骤：一、估计整数部分是几位数，确定最高位上的数字；二、确定下一位上的数字；三、以此类推，直到确定个位上的数字，或者按照要求精确到小数点后的某一位。
请看例一：估算$\sqrt{3}$的近似值，精确到$0.01$，也就是精确到百分位。同学们，我们一起来看。
因为$12 = 1$，$22 = 4$，$(\sqrt{3})2 = 3$，所以$\sqrt{3} > 1$，小于$2$。因为$1.72 = 2.89$，$1.82 = 3.24$，所以$\sqrt{3} > 1.7$，小于$1.8$。
在这里要提到，在第一章里面，我们曾经要求大家记忆和背诵$11$到$19$这些数的平方值。例如$172 = 289$，$182 = 324$。这些$10$到$20$之间的两位数，它们的平方结果要张口就来，不需要犹豫。在这里我们就能很快地估算出我们要估算的结果。
好，我们继续来看，因为$1.732 = 2.9929$，$1.742 = 3.0276$。这时候我们通常要用计算器帮助进行计算。所以此时我们确定$\sqrt{3} > 1.73$，小于$1.74$。此时已经计算到了百分位。我们精确到百分位需要继续往下算到千分位。因为$1.7322 = 2.999824$，$1.7332 = 3.003289$，所以$\sqrt{3} > 1.732$，小于$1.733$。根据四舍五入，千分位的结果小于$5$，所以舍掉千分位，最终$\sqrt{3} \approx 1.73$。
再来看例二：生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的$\frac{1}{3}$，则梯子比较稳定。现有一长为$6$米的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到$5.6$米高的墙头吗？
同学们，我们根据实际情境抽象出数学模型，如图所示，我们设稳定摆放时，梯子的高度为$x$米。根据题意，由勾股定理列出方程：$x2 + (\frac{1}{3}×6)2 = 62$，$x2 = 32$，$x = \sqrt{32}$。$5.62 = 31.36 < 32$，也就是说$\sqrt{32} > 5.6$。因此梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到$5.6$米高的墙头。
同学们，我们接着来看比较两个数的大小。第一小问，通过估算，你能比较$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$与$\frac{1}{2}$的大小吗？你是怎样想的？与同伴进行交流。
小明是这样想的：$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$与$\frac{1}{2}$的分母相同，只要比较它们的分子就可以了。因为$\sqrt{5} > 2$，所以$\sqrt{5} - 1 > 1$，因此$\frac{\sqrt{5} - 1}{2} > \frac{1}{2}$。小明的这种想法正确吗？很显然，他的操作是正确的，这种方法也称之为估值法。
比较两个数的大小，常用的方法有以下几点：
一、用估算的方法比较两个数的大小，若其中有一个无理数时，一般先采用分析的方法估算出无理数的大致取值范围，再做具体的比较。例如比较$\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$与$\frac{1}{2}$的大小，其中$\sqrt{5}$是一个无理数，我们可以估算出$\sqrt{5}$的取值在$2$和$3$之间，然后再进行进一步的判断。
比较两个数大小时的常用结论：
第一点，$a > b \geq 0$，可以推导出$\sqrt{a} > \sqrt{b}$。反过来，由$\sqrt{a} > \sqrt{b}$，也可以推导出$a > b \geq 0$。
第二点，$a > b$可以推导出$\sqrt[3]{a} > \sqrt[3]{b}$，或者$a3 > b3$。
第三点，当$b < a < 0$时，则$b2 > a2$。
三、对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：
一、先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较。
二、当符号相同时，把不含根号的数平方和被开方数进行比较。本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算数平方根越大。若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小。
比较两数大小的方法，还有做差法、做商法，这些方法将会在后续的学习当中进行进一步的研究。
练习：
第一题，下列整数中与$\sqrt{35}$最接近的是？很显然，这道题应该选择C项，因为$(\sqrt{35})2 = 35$，$62 = 36$，因此$\sqrt{35}$与整数$6$最接近。
第二题，通过估算比较$\sqrt{6}$与$2.5$的大小。$\sqrt{6}$是一个含有根号的无理数，$2.5$是一个有理数，这两个数进行比较大小，我们也采用平方的方法。把$\sqrt{6}$进行平方得到的结果为$6$，$2.5$进行平方得到的结果为$6.25$。很显然，$\sqrt{6} < 2.5$。
在这里我们要求大家还要熟记$15$的平方、$25$的平方、$35$的平方、$45$的平方、$55$的平方、$65$的平方、$75$的平方、$85$的平方、$95$的平方的结果。当然，它们的结果有简便记忆方法。例如，$25$的平方等于$625$，只需要拿$20$乘以$30$，再加上$25$就可以了。$35$乘以$35$，只需要拿$30$乘以$40$再加上$25$，得到的正确结果为$1225$。那么$45$的平方就是拿$40$乘以$50$，最终结果为$2025$。
好，这些内容我们就不过多的进行重复了，我们一起来总结一下这节课所学习的内容。
这节课我们学习了估算一个无理数的大小，经历了三个教学活动：一、探求无理数估算结果的合理性，学会估算一个数的大致范围，也就是夹逼法；二、会用估算来解决实际问题；三、会用估算比较大小。
今天的作业：课本习题$2.6$必做题$1$、$2$、$3$题，选做题$3$、$5$两题。
今天的这节课就上到这里，感谢同学们的耐心聆听。