师：各位同学，大家好。今天我们来学习北师大版八年级数学上册第二章第七节二次根式的第一课。里约奥运会上哪位奥运健儿给你留下了深刻的印象？大家能猜出下面这个表情包是谁吗？通过观察面部特征，我们知道她是傅园慧。事物的特征是我们认识或学习事物最根本的依据。学习数学也是一样。比如，请同学们观察下列各式有哪些共同特征？
生：（观察后）它们都含有二次根号，并且根号里面的数都是非负的。
师：非常好。一般地，形如根号a（a大于等于0）的式子，我们叫做二次根式，其中a叫做被开方数。大家要注意，a可以表示任意的数字，也可以表示任意的代数式。我们再把二次根式的特征总结一下，二次根式必须含有二次根号，且被开方数a要大于等于0。下面我们利用二次根式的定义来识别二次根式。
下列各式中哪些是二次根式，哪些不是？如果想判断是否为二次根式，只需要判断它是否符合二次根式的特征。首先判断是否含有二次根号，若不含有二次根号，那就不是二次根式；若含有二次根号，再判断被开方数是不是非负数，若被开方数是负数，那就不是二次根式；若被开方数是非负的，那么它就是二次根式。
比如，第一个式子，它不含有二次根号，所以不是二次根式。那这个式子呢，根号14，它具有二次根号，其次被开方数14是非负的，所以根号14是二次根式。81不含有二次根号，所以81不是二次根式。根号下 - 0.8， - 0.8是负数，所以它不是二次根式。根号下负3X，其中x小于等于0，我们可以判断出被开方数负3X一定是大于等于0的，所以它是二次根式。根号下n分之m，若被开方数m比上n是一个负数，所以根号下n分之m不是二次根式。根号下x方加4，可以判断出被开方数x方加4一定是大于0的，所以根号下x方加4是二次根式。四根号下15明显它不具有二次根号，所以它不是二次根式。
综合以上，我们可以判断出一、四、六题均是二次根式，而二、三、五、七题不是二次根式。请同学们思考下列各式是否为二次根式？和老师的答案对照一下。
生：（思考、回答）
师：这个式子是二次根式，它符合二次根式的特征。这个式子，被开方数是负数，不是二次根式。这个式子也不是，它们均没有二次根号。
这个式子，我们可以很容易判断出被开方数负m是大于等于0的，是二次根式。这个式子，我们判断不出被开方数是否为非负的，不是二次根式。这个式子符合二次根式的基本特征，是二次根式。这个式子，因为被开方数是负数，不是二次根式。这个式子，t也是二次根式，它们符合二次根式的特征。对了吗？
我们再利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。请同学们思考，当x为怎样的实数时，根号下x减2在实数范围内有意义？根据二次根式的特征，我们知道x减2作为被开方数的话，一定要大于等于0。我们可以得到x大于等于2。因此，当x大于等于2时，根号下x减2在实数范围内有意义。我们接着思考，当x为怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义，根号下x减1分之1。
生：（思考、回答）
师：观察我们发现根号下x减1是作为分母，而分母不能为0，所以被开方数x减1只能大于0，所以x大于1。第二题，x减1分之根号下x加3。
因为被开方数需要大于或等于0，所以x加3要大于等于0，即x大于等于 - 3，而分母不能为0，所以x减1不等于0，即x不等于1。综合以上，我们可以得到x大于等于 - 3，且x不等于1。由此我们可以归纳出，要使二次根式在实数范围内有意义，即需要满足被开方数大于等于0，列出不等式求解即可。若二次根式为分式的分母时，要同时考虑分母不为0。下面请同学们独立判断x取何值时，下列二次根式有意义。
生：（独立思考、解答）
师：根号下x减1，要想使得它有意义，我们只需要保证被开方数x减1大于等于0就可以了，所以x大于等于1。根号下负3X，要想使得它有意义，只需要保证被开方数负3X大于等于0，即x小于等于0。根号下4X的平方，因为x无论取何值时，4X方均是大于等于0的，所以x为全体实数。根号下x分之一，这里x分之一作为被开方数，且x作为分母，我们只要保证x大于0就可以了。根号下x的3次方，要想使得它有意义，我们只需要保证被开方数x的3次方大于等于0，即x大于等于0。根号下x方分之一，这里x方分之一作为被开方数，且x方作为分母，所以我们只要保证x不等于0，就能使得这个二次根式有意义了。
这个式子，我们需要满足三个条件，被开方数x加1要大于等于0，x加3不等于0，x减2不等于0。综合，我们可以得到x大于等于 - 1，且x不等于2。这个式子，我们需要满足两个条件，分子上的被开方数x加2要大于等于0，而分母上的被开方数x要大于0。综合可得x大于0。根号下x方加1，这里x无论取何值，被开方数均是大于0的，所以x为全体实数。你判断对了吗？
我们再来探究二次根式的运算法则，请同学们根据自己所学知识完成填空。
根号下4乘以9表示的是4乘以9的算术平方根，也就是36的算术平方根，等于6。根号4乘以根号9表示的是4的算术平方根乘以9的算术平方根，也就是2乘以3 = 6。以此类推，我们可以得到根号下16乘以25 = 20，根号16乘以根号25也等于20。根号4/9等于2/3，根号4比上根号9也等于2/3。根号16/25等于4/5，根号16比上根号25也等于4/5。计算后，你发现了什么？
生：每一组式子的结果都是相等的。
师：非常好。下面我们再借助计算器来计算下面几组式子。
根号6乘以7 ，根号6乘以根号7 。计算后，你又发现了什么？
生：这几组式子的结果也是相等的。
师：把这些相等的式子放在一起再来观察一下，我们先把含有乘号的式子放在一起，这几组式子有什么共同特征呢？
生：等号的左边都是积的算术平方根的形式，等号的右边都是算术平方根的积。
师：如果我们用字母来表示，可以表示为根号a乘以b等于根号a乘以根号b。我们再把含有除号的式子放在一起，观察它们有什么共同特征呢？
生：等号的左边都是商的算术平方根的形式，右边都是算术平方根的商。
师：如果我们用字母来表示，可以表示为根号下a比上b等于根号a比上根号b。请同学们思考，a和b可以是什么数呢？有什么限制条件吗？
生：式子一中，a和b均作为被开方数，所以要保证a大于等于0，b也要大于等于0。式子二中，b不仅作为被开方数，还作为分母，所以要保证a大于等于0，b大于0。