师：各位同学，大家好。这节课我们来学习一次函数与正比例函数。首先，复习一下已经学过的相关函数知识。函数的定义是：一般地，如果在一个变化过程中有两个变量(x)和(y)，并且对于(x)的每一个值，(y)都有唯一的值与之对应，那么我们称(y)是(x)的函数，其中(x)是自变量。另外，我们还学习了函数的表达方法，有图像法、表格法、关系式法。
今天这节课学习的内容涉及函数的分类。函数有哪几种类型？函数分类的标准是什么？我们往往根据函数关系式的某些特征，将函数分为某种类型的函数。那么我们今天要学的一次函数与正比例函数，它们的函数关系式具有怎样的特点呢？下面来看这样的情景。
某弹簧的自然长度为(3)厘米，在弹性限度内，所挂物体的质量(x)每增加(1)千克，弹簧长度(y)增加(0.5)厘米。显然，在这个过程中，弹簧的长度(y)随着所挂物体质量(x)的变化而变化，具体来说，(x)每增加(1)千克，弹簧的长度(y)增加(0.5)厘米。
为了更好地梳理这两个变量之间的关系，我们尝试完成这样一个表格，计算所挂物体的质量分别是(1)千克、(2)千克、(3)千克、(4)千克、(5)千克时弹簧的长度，并填入下表。当(x)取(0)时，(y)是(3)厘米；当(x)取(1)时，(x)增加了(1)千克，(y)增加(0.5)，变成了(3.5)厘米；当(x)从(1)变到(2)，(x)增加(1)千克，(y)增加(0.5)，变成了(4)厘米；当(x)从(2)到(3)时，(x)增加(1)千克，(y)相应地增加(0.5)厘米，变成了(4.5)厘米；当(x)取(4)时，(y)再次增加(0.5)，变成了(5)厘米；当(x)取(5)时，(x)增加(1)千克，(y)增加(0.5)，变成了(5.5)厘米。通过表格的分析和梳理，大家现在对这两个变量的关系更为熟悉。下面，你能尝试写出(y)与(x)之间的关系式吗？
显然，(y = 3 + 0.5x)。通过表格和关系式，我们很容易发现，当自变量(x)给出某一个值时，(y)都有唯一的值和它对应。因此，这个式子不仅仅是(y)与(x)的关系式，更准确地说，它是(y)与(x)的函数关系式。
下面我们再来看一个情景。某辆汽车油箱中原有汽油(60)升，汽车每行驶(50)千米，耗油(6)升。显然，在这个过程中，我们很容易找到这样几个变量，例如汽车行驶的时间、汽车行驶的路程、汽车在行驶过程中的耗油量以及汽车油箱中剩余的油量等等。下面我们就来尝试探索一下汽车行驶的路程与耗油量这两个变量的关系。
同样，为了更好地梳理这两个变量的关系，我们也来尝试完成这样的表格。大家可以看到，表格的第一行是汽车行驶的路程(x)千米，第二行是耗油量(y)升。当(x = 0)的时候，耗油量为(0)；当(x)为(50)时，耗油量是(6)升；当(x)取(100)时，(x)增加(50)，所以(y)增加(6)变成(12)升；当(x)取(150)，(x)增加(50)，(y)再次增加(6)，变成(18)升；当(x)取(200)时，(x)再次增加(50)，(y)在(18)的基础上也再次增加(6)，变成(24)升。但是最后一个空，同学们要特别仔细。(x)从(200)变到(300)，(x)增加了(100)千米，(100)里面有两个(50)，所以耗油量增加了两个(6)升，也就是(12)升，所以此时的耗油量(24 + 12 = 36)升。
通过最后一行的分析，也为我们提供了另外一条思路。比如说(x)取(50)时，(y = 6)；(x)取(100)时，(100)里有两个(50)，所以耗油量就是两个(6)升；当(x)取(150)时，(150)里有(3)个(50)，所以耗油量就是(3)个(6)升；当(x)取(200)时，(200)里有(4)个(50)，所以耗油量就是(4)个(6)升，即(24)升；当(x)取(300)时，(300)里有(6)个(50)，所以耗油量就是(6\times6 = 36)升。通过表格的梳理，大家现在对这两个变量的关系应该更为清晰。下面你能写出这二者之间的关系式吗？
显然，(y = 6\times\frac{x}{50})，化简以后等于(\frac{3}{25}x)。这个式子可以这样解释：(\frac{x}{50})相当于(x)除以(50)，表示(x)中有多少个(50)，有几个(50)就有几个(6)，所以是(6\times\frac{x}{50})。这是一种解释，还可以换一个角度来解释吗？当然，汽车每行驶(50)千米耗油量为(6)升，那么汽车每行驶(1)千米耗油量是多少呢？显然，我们可以用(6)除以(50 = \frac{3}{25})。因此这个(\frac{3}{25})可以解释为汽车每行驶(1)千米的耗油量。汽车每行驶(1)千米耗油(\frac{3}{25})升，所以汽车行驶(x)千米，耗油量就是(\frac{3}{25}x)升。通过表格和关系式，我们很容易发现对于自变量(x)的每一个值，(y)都有唯一的值和它对应，所以这个关系式不是普通的关系式，严格来讲是(y)与(x)的函数关系式。
通过耗油量与汽车行驶路程这两个变量的分析，我们其实也很容易找到汽车行驶的路程与汽车油箱中剩余油量这两个变量的关系。你能尝试写出油箱中剩余的油量(z)与汽车行驶的路程(x)之间的关系式吗？
因为汽车油箱中原来有油(60)升，用(60)升减去消耗的油量，就是油箱中剩余的油量，所以(z = 60 - \frac{3}{25}x)。在这个关系式中，对(x)取某一个数，大家很容易发现(z)都有唯一的值和它对应。因此(z)与(x)的这个关系式是一个函数关系式，(z)是(x)的函数。
在刚才的情境中，我们得到这样两个关系式，对于(x)的取值，因变量都有唯一的值和它对应。所以这是两个函数关系式，请你观察这两个式子有什么共同点呢？对，它们都是等式，左右两边都是整式，且(x)的次数都是一次。
还有新的发现吗？为了便于发现，我对这两个式子进行改写。把第一个式子写成(y = 0.5x + 3)，第二个式子改写成(y = -\frac{3}{25}x + 60)。再观察，有新的发现吗？左边是一个因变量，不妨用(y)来表示，(y)等于等式右边是常数乘以(x)，不妨用(kx)来表示，再加上一个常数，不妨用(b)来表示。这样以上两个式子都可以表示成(y = kx + b)的形式。
在上面的情境中，还有一个函数关系式(y = \frac{3}{25}x)，可以把它改写成(y = \frac{3}{25}x + 0)。所以这三个式子都可以改写成(y = kx + b)的形式。具有这样特征的函数是什么样的函数呢？是一次函数。所以根据以上几点，我们可以提炼出一次函数的定义：两个变量(x)和(y)之间的关系可以表示成(y = kx + b)（(k)、(b)为常数，且(k \neq 0)），这样我们就称(y)是(x)的一次函数。