师：同学们，你们好，今天我们一起来学习初中数学北师大版八年级上册第四章第四节一次函数的应用第二课时。本节课的学习目标有两个：一是掌握单个一次函数图像的应用；二是理解一次函数与一元一次方程的关系。首先，我们来回顾一下关于一次函数图像的相关知识。从一次函数图像中，我们能获得哪些信息呢？其一，通过函数图像可以确定(k)和(b)的符号；其二，可以估计函数的变化趋势；其三，能直接观察出(x)与(y)的对应值；其四，由一次函数的图像与(y)轴的交点坐标可确定(b)的值，进而确定一次函数的表达式。
下面我们来看一个例子。由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量(v)与干旱持续时间(t)的关系如图所示。根据图像回答下列问题，同学们在看后面每一道问题时，可以先暂停播放，自主思考后再听讲解。
第一问，水库干旱前的蓄水量是多少？这个问题的意思是，当干旱持续时间(t = 0)时，蓄水量(v)是多少？从图像上看，就是函数图像与纵轴交点的纵坐标，即(1200)。所以，水库干旱前的蓄水量是(1200)万立方米。
第二问，干旱持续时间为(10)天时，蓄水量为多少？连续干旱(23)天呢？我们先看第一小问，干旱持续(10)天蓄水量为多少，意思就是当(t = 10)时，蓄水量(v)是多少。从图像上看，我们先在横轴上找到(t = 10)对应的点，然后过这一点作横轴的垂线交图像于一点，再过这一点作纵轴的垂线，发现与纵轴交点对应的数字是(1000)。也就是说，当(t = 10)时，(v)对应的数字是(1000)。所以，干旱持续(10)天的时候，蓄水量为(1000)万立方米。
第二小问，连续干旱(23)天。和刚才的问题类似，我们先在横轴上找(t = 23)对应的点，由于这一点不能精确找到，只能大致确定位置。过这一个大致位置作一条垂线，交函数图像于一点，再过这一点作(y)轴的垂线，发现与纵轴交点对应数字不能精确读出，只能读出约数，大约是(750)万立方米。同学们想一想，有没有其他方法能精确求出当(t = 23)时，对应的蓄水量(v)的值呢？
可能已经有同学想到我们上节课学习的确定函数的表达式。所以，我们可以尝试利用上节课的方法，先求出函数图像对应的函数表达式。设(v)与(t)的函数表达式为(v = kt + b)，把图像上两个点，比如((0, 1200))和((10, 1000))代入所设解析式中，可以得到(\begin{cases}1200 = b\1000 = 10k + b\end{cases})，解这两个方程可得(k = -20)，(b = 1200)。所以，(v)与(t)的函数关系式为(v = -20t + 1200)。然后把(t = 23)代入求得的解析式中，得(v = -20×23 + 1200 = 740)万立方米。这样我们就精确求出了持续干旱(23)天时水库的蓄水量。当然，前面两问也可以利用刚刚求出来的关系式来求解。
第三问，蓄水量小于(400)时将发生严重的干旱警报。干旱多少天后将发出干旱警报？同学们想一想，前面两问解决问题时所用的方法，此问该怎么解决呢？题目的意思就是当(v = 400)时，对应的时间(t)是多少。所以，我们要在纵轴上找到(v = 400)对应的点，然后过这一点作纵轴的垂线交图像于一点，再过这一点作横轴的垂线，发现与横轴交点对应的数字是(40)。又因为(v)的值随着(t)的值的增大而减少，图像是下降趋势，所以干旱持续(40)天后将发出干旱警报。这个问题同样可以用刚刚求得的函数表达式来解决，我们只需要令(v = 400)就可以求出对应的(t)的值。
第四问，按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸？这个问题的意思是当(v = 0)时，干旱持续时间(t)是多少。所以，我们要先把函数图像继续延伸与横轴相交，发现交点对应的数字是(60)。所以，预计持续干旱(60)天，水库将干涸。同样，此题也可以运用表达式来解决，我们只需要令(v = 0)，代入刚刚求得的函数解析式(0 = -20t + 1200)，也可求得(t = 60)。所以，这道题的四个问题，我们有两种解法，可以通过图像直观读取对应的数值，但有时不太精确；也可以先求出函数的关系式，再去求每一个问题。
我们再看一道例题，某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量(y)与摩托车行驶路程(x)之间的关系如图所示。我们先观察图像，发现横轴代表行驶路程(x)，纵轴代表剩余油量(y)，图像展示的是(y)与(x)之间的一次函数关系。我们看下面的问题，根据图像回答下列问题。
第一问，油箱最多可储油多少升？这句话用数学语言表达，就是当(x = 0)时，(y)等于多少。从图像上看，可以看到图像与(y)轴相交的点的坐标是((0, 10))，所以当(x = 0)时，(y = 10)，因此油箱最多可储油(10)升。
第二问，一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？这句话的意思就是当(y = 0)时，(x)等于多少，也就是油用完时摩托车可以行驶的距离。从图像上可以看到图像与(x)轴相交的点的坐标为((500, 0))，所以当(y = 0)时，(x = 500)，因此一箱汽油可供摩托车行驶(500)千米。
第三问，摩托车每行驶(100)千米消耗多少升油？这个问题我们需要从图像上找两个点的坐标来进行计算。比如当摩托车行驶(100)千米时，此时油箱里还剩(8)升油；当摩托车行驶(200)千米时，此时摩托车还剩(6)升油。我们发现当(x)从(100)增加到(200)时，(y)从(8)减少到(6)，减少了(2)。因此，摩托车每行驶(100)千米消耗(2)升汽油。
第四问，油箱中的剩余油量小于(1)升时，将自动报警。行驶多少千米后，摩托车将自动报警？对于这个问题，我们首先要找到当(y = 1)时(x)对应的的值。所以，我们先在(y)轴上找到(1)对应的点，过这一点作(y)轴的垂线，与图像交于一点，再过这一点向(x)轴作垂线，发现与(x)轴交点的坐标是((450, 0))，意思也就是说当(y = 1)时，(x = 450)。因此，当行驶了(450)千米后，摩托车将自动报警。
通过刚才两个例子，我们总结一下如何解答实际情境函数图像的信息。其一，我们首先要理解横纵坐标分别表示的实际意义；其二，分析已知条件，通过作(x)轴或(y)轴的垂线，在图像上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值，读出要求的值。我们利用数形结合的思想，比如说将数转化为形，先找到点，然后作垂线等，再由形定数，通过找到的点作垂线找到另一个对应的数。其三，我们解决问题时所采用的方法，一是直接观察法，但此方法有时不太精确；二是利用表达式求解法，这两种方法可以结合使用。