师：同学们好，前段时间我们学习了北师大版八年级上册第四章一次函数。今天这节课，老师将和大家一起梳理、巩固本章知识点，思考各知识点间的内在联系，以及知识运用中所涉及的数学思想和方法。
首先，我们借助知识框图梳理本章知识体系。为研究变化的量，我们建立了函数这一数学模型。函数种类繁多，本章学习的一次函数是最基础、最简单的。对于一次函数，我们主要从图像、性质，以及一次函数与一元一次方程的关系等方面展开研究，并运用一次函数知识解决生活实际问题。下面，我们逐个回顾知识点。
师：什么是函数呢？一般来说，如果在一个变化过程中有两个变量(x)和(y)，并且对于变量(x)的每一个值，变量(y)都有唯一确定的值与之对应，我们就称(y)是(x)的函数，其中(x)是自变量。函数本质上是变量之间相互依存的关系，用什么方式能表达这种关系呢？
函数有三种表示方法：列表法、解析式法和图像法，这三种方法可相互转化，图像法尤为重要，是研究函数性质的关键工具。什么是函数的图像呢？把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值，分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形就是该函数的图像。利用描点法就能画出函数图像，大家还记得描点法画图的步骤吗？
生：三步，列表、描点、连线。
师：下面看练习一，下列各坐标系中的图形，表示(y)是(x)的函数的是。本题考查函数概念，解决问题要抓住函数定义的核心，对于(x)的每一个值，(y)有唯一确定的值与之对应，即(y)具有唯一性。看(A)选项，取定一个(x)值，发现与之对应的(y)值有两个，不唯一，所以(y)不是(x)的函数。同理，(B)选项(y)也不是(x)的函数。(C)、(D)选项，在自变量允许的取值范围内，无论(x)取何值，与之对应的(y)值都是唯一的，因此(y)是(x)的函数，本题选(D)。
本章我们学习的是最简单的函数——一次函数，同学们回忆一下，我们从哪些方面研究一次函数呢？
生：从定义、图像、性质、应用四个方面。
师：非常好。首先看定义，什么是一次函数呢？如果两个变量(x)、(y)之间的对应关系可以表示成(y = kx + b)（(k)、(b)为常数，(k≠0)）的形式，那我们就称(y)是(x)的一次函数。这里要特别注意(k)不能等于(0)，但(b)可以等于(0)。当(b = 0)时，一次函数(y = kx + b)就变为(y = kx)（(k)为常数，(k≠0)），这时我们称(y)是(x)的正比例函数。
那根据定义，正比例函数与一次函数是什么关系呢？
生：正比例函数属于一次函数，是特殊的一次函数，特殊在(b = 0)。
师：对，对于一次函数概念的理解，要注意两点：一是解析式中自变量(x)的次数是一次，自变量系数(k)不能等于(0)。下面老师考考大家，例(2)，根据条件求(k)值。第一小题，对于函数(y = (k + 1)x^{|k| - 3})，当(k)为何值时，(y)是(x)的一次函数？
生：根据一次函数定义，自变量次数为一次，自变量系数不为(0)。所以(|k| = 1)，且(k + 1≠0)，由此可得(k = 1)。
师：很好。第(2)小题，对于函数(y = (2 - k)x + k2 - 4)，当(k)为何值时，(y)是(x)的正比例函数？
生：根据正比例函数定义，自变量系数不为(0)，常数项等于(0)。所以(k2 - 4 = 0)，且(2 - k≠0)，由此可得(k = - 2)。
师：这里要注意，一次函数中的(b)，这里应该等于(k2 - 4)。这两题考察了一次函数和正比例函数的定义。接着我们复习一次函数的图像和性质。通过描点法画图，我们发现正比例函数(y = kx)的图像是一条过原点的直线，一次函数(y = kx + b)的图像也是一条直线，称为直线(y = kx + b)。同时还发现直线(y = kx + b)，可以看成由直线(y = kx)平移(|b|)个单位长度得到。当(b＞0)时向上平移，当(b＜0)时向下平移。
既然一次函数的图像是一条直线，根据两点确定一条直线，画一次函数图像时，只需要描出两个点就行。一次函数(y = kx + b)中有两个常数(k)和(b)，它们决定了函数的图像和性质，它们各有什么作用呢？
生：(k)定方向，当(k＞0)时，图像从左往右上升，(y)随(x)增大而增大；当(k＜0)时，图像从左往右下降，(y)随(x)增大而减小。(k)的绝对值决定直线的倾斜程度，(k)的绝对值越大，直线越陡。如果两一次函数(k)值相等，且(b)值不等，那么这两条直线互相平行，可通过平移互相得到。(b)决定直线与(y)轴交点的位置，当(b＞0)时，直线与(y)轴交于正半轴；当(b = 0)时，直线过原点；当(b＜0)时，直线与(y)轴交于负半轴。
师：非常棒，由此看出(k)和(b)共同决定了函数的图像和性质，只要(k)和(b)确定了，函数图像也就确定了。那你能根据(k)、(b)的取值情况画出直线(y = kx + b)的草图吗？动手试试。
根据(k)、(b)的取值情况，需分类讨论，总的来讲可分成(6)种情况。当(k＞0)时，如果(b＞0)，图像经过一、二、三象限；如果(b = 0)，图像过原点和一、三象限；当(b＜0)时，图像过一、三、四象限。如果(k＜0)，当(b＞0)时，图像经过一、二、四象限；如果(b = 0)，图像经过二、四象限和原点；如果(b＜0)，图像过二、三、四象限。能正确画出草图很重要，画出草图并用数形结合，能帮助我们直观解决很多问题。
下面我们来看第三，已知一次函数(y = (m - 4)x + 3 - m)，当(m)为何值时：第一小题，(y)随(x)的增大而减小。
生：根据一次函数性质，当(y)随(x)增大而减小的时候，(k＜0)。这里(k = m - 4)，所以(m - 4＜0)，即(m＜4)。
师：很好。第(2)小题，该直线过原点。
生：一次函数中(b = 0)时直线过原点，这里(b = 3 - m)，所以(3 - m = 0)，因此(m = 3)。
师：对。第三小题，该直线与(y)轴交点在负半轴。
生：首先它是一次函数，那么(m - 4≠0)。直线与(y)轴交点在负半轴，所以(b＜0)，也就是(3 - m＜0)，可得(m＞3)且(m≠4)。
师：接着看第四，对于函数(y = - 3x + 1)，下列结论正确的是：像图像必过点(( - 1,3))。
生：当(x = - 1)，代入求出(y = 4)，所以(A)选项错误。
师：(B)选项说它经过一、二、三象限。
生：一次函数(k＜0)，图像必过二、四象限，所以函数图像应该过一、二、四象限，(B)选项错误。
师：(C)选项图像与(y)轴的交点是((0,1))。
生：正确。
师：(D)选项(y)的值随(x)的增大应该是减小。
生：正确。所以正确答案应该是(C)。
师：第五，已知两点都在直线(y = kx + b)上，(k＜0)，(b＞0)，且(x?＜x?)，让你比较(y?)和(y?)的大小。
生：这题可利用函数的增减性来比较。(k＜0)，(y)随(x)增大而减小，即(x)越大，对应的(y)值越小，所以(y?＜y?)。
师：正确答案应该是(y?＜y?)。两条直线在同一平面直角坐标系内的图像大致为。本题属于函数图像的共存问题，一次函数图像共存问题可利用假设法判定。首先以其中一个函数的图像经过的象限确定(k)和(b)的符号，再通过(k)、(b)的符号判断另一个函数的图像经过哪些象限，看与实际经过的象限是否一致，一致则共存，不一致则不共存。