师：同学们好，请大家拿出课本、笔和草稿本，开始今天的数学学习。之前，我们把数系从有理数扩充到了实数范围，并且借助数轴得出实数与数轴上的点一一对应。我们能类比有理数的大小比较法则，对实数进行大小比较，这就是今天这节课要学习的内容。大家能在数轴上表示出下列各数的点，并比较它们的大小，用小于号连接起来吗？比如 10 和 -3 ，我们先用数轴上的点来表示它们。
我们观察数轴，知道数轴上越靠右的点所表示的数越大，越靠左的点表示的数越小。所以 1 大于 0 ，而 -3 小于 0 ， 1 大于 -3 。这就是有理数的大小比较法则：正数大于 0 ，负数小于 0 ，正数大于负数。如果加入无理数，又该怎么比较大小呢？首先，我们借助数轴上的点表示无理数。以根号 2 为例，前面我们知道根号 2 大于 1.4 ，小于 1.5 ，所以能在数轴上近似表示出它的位置。当然，也可以用之前学的方法构造正方形，利用正方形对角线是根号 2 ，找到其确切位置。
那负根号 2 怎么表示呢？负根号 2 与根号 2 是相反数，它们到原点的距离相等。正根号 2 在原点右边，负根号 2 就在原点左侧，距离原点相同长度。我们找到表示负根号 2 的点。现在看这根数轴，这 5 个实数都在数轴上表示出来了，根据数轴上越靠右的点表示的数越大，我们得到根号 2 大于 1 ，大于 0 ，大于负根号 2 ，大于 -3 ，这样就可以自左向右按从小到大顺序排列这 5 个数。咱们再看数轴，先看原点右侧， 1 是正有理数，根号 2 是正无理数，越靠右数越大，所以根号 2 大于 1 ，即实数比较大小时，正数绝对值越大数越大。再看原点左侧， -3 是负有理数，负根号 2 是负无理数，越靠左数越小，所以两个负实数比较大小，绝对值越大的负数反而小。由此可知，有理数的大小比较法则在实数范围内依然适用。
接下来，我们利用实数大小比较法则看一道例题。在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用小于号连接起来： -1 、根号 2 、 -2 、负根号 2 、负二倍根号 2 的绝对值、 4 。我们先在数轴上表示出有理数 -1 、 -2 、 4 。接下来表示三个无理数的位置。通过前面学习，我们知道根号 2 大于 1 小于 2 ，找到根号 2 的位置。接着看负根号 2 ，它到原点距离与根号 2 到原点距离相等。最后看负二倍根号 2 的绝对值，先去绝对值，负二倍根号 2 的绝对值等于二倍根号 2 ，二倍根号 2 是正数，在原点右侧，它到原点的距离是根号 2 到原点距离的 2 倍，这样就能表示出这个点。
接下来看这些点的排列顺序，越靠左数越小，越靠右数越大，所以可以按从小到大顺序排列。这里要注意，写的时候要写原数。利用数轴能比较实数大小，如果不画数轴，能直接比较实数大小吗？一起来试试。例 2 比较大小。第一题，根号 10 与 3 的大小比较，这是两个正数，比较时只需考虑谁的绝对值更大。根号 10 是无理数， 3 是有理数，比较这类数大小，可以利用平方根和乘方知识。老师示范第一题，因为 3 的平方等于 9 ，而根号 10 大于根号 9 ，所以根号 10 大于 3 ，这里应填大于号。大家能模仿老师运算比较第二题大小吗？相信大家有答案了，一起来看。
根号 56 ，与它最接近的两个平方数是 64 ， 8 的平方是 64 ，所以根号 64 大于根号 56 ，由此可比较这两个数大小，根号 56 小于 8 ，这里应填小于号。再看第三小题，比较根号 56 - 1 与 6 的大小。先判断根号 56 最接近的整数，根号 56 大于根号 49 小于根号 64 ，即根号 56 大于 7 小于 8 ，所以根号 56 - 1 大于 6 ，得到根号 56 - 1 大于 6 。观察这三道题，都是正实数之间比较大小，大家学会估算了吗？下面两道跟踪练习，一起来看。
在根号 9 、根号 12 、根号 13 、根号 16 和根号 17 中，介于 3 和 4 之间的无理数有几个呢？观察这五个实数，是按从小到大顺序排列的，其中有两个有理数，分别是根号 9 和根号 16 ，将它们化成整数，再看根号 12 与根号 13 。所以这 5 个实数中介于 3 和 4 之间的无理数是根号 12 和根号 13 。
接着看第二题，这是一道安徽省中考真题。设 n 为正整数，根号 65 大于 n 小于 n + 1 ， n 的值是多少？先判断根号 65 的值在哪两个整数之间，根号 65 大于根号 64 小于根号 81 ，所以根号 65 在 8 与 9 之间，这样就得到 n 的值为 8 ，正确选项是 d ，大家做对了吗？我们接着看一组更复杂的实数大小比较。例 3 ，比较下列各组数中两个数的大小。第一题，两个负无理数比较大小，两个负数比较大小，只需比较绝对值，绝对值大的反而小。先看绝对值，根号 5 小于根号 6 ，所以两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即负根号 5 大于负根号 6 。接着看第二题，两个正无理数比较大小，直接比较被开方数大小即可。 PI 约等于 3.14 ，大于 3 ，所以根号 PI 大于根号 3 。再看第三题，这两个数分母相同，对于两个正数，只需看分子大小。先比较分子大小，根号 3 大于 1 小于 2 ，所以根号 3 - 1 小于 1 ，由此得到二分之根号 3 - 1 小于 1 / 2 。这样就完成了这些实数的大小比较。刚才用了两种方法对实数进行大小比较，一种是借助数轴，根据数轴上点的位置比较大小；第二种是利用估算方法比较大小，大家掌握了吗？接下来通过一组练习加深对这些知识的理解。
第一题，若将三个数负根号 3 、根号 7 、根号 13 表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是哪个？观察数轴，被墨迹盖住的数大于 1 小于 3 ，且是正数，所以负根号 3 不符合。那是根号 7 还是根号 13 呢？估算一下， 2 的平方等于 4 ， 3 的平方等于 9 ，所以根号 7 大于 2 小于 3 ；而根号 13 ， 3 的平方等于 9 ， 4 的平方等于 16 ，所以根号 13 大于 3 小于 4 。根据数轴上点的位置，符合题意的值可能是根号 7 。