师：同学们好，本节课我们来学习 8.3 节完全平方公式与平方差公式第一课时。在这之前，我们已经学习了多项式与多项式的乘法。大家还记得多项式与多项式相乘的法则吗？
生：多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项与另一个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
师：非常好，比如((a + b))乘以((m + n))，我们将两个多项式中的每一项分别相乘，再把所得的积相加，结果等于(am + bm + an + bn)。下面请大家思考这个问题。如图，一块正方形菜地，边长为(a)，现将它的边长增加(b)，变成一个大的正方形，求扩大后的菜地面积。
生：由于扩大后的菜地是正方形，边长是(a + b)，根据正方形面积公式，面积为((a + b)^2)。
师：那((a + b)^2)具体结果是怎样的呢？可能有同学猜想它就等于(a^2 + b^2)，是否是这样呢？在这里我们可以用具体的数值进行验证，当(a = 2)，(b = 1)时，((a + b)^2 = (2 + 1)^2 = 9)，而(a^2 + b^2 = 2^2 + 1^2 = 5)。很明显，在一般情况下，((a + b)^2)并不等于(a^2 + b^2)。那我们如何计算((a + b)^2)的结果呢？
生：从乘方的本质上来看，((a + b)^2 = (a + b)×(a + b))，依据多项式与多项式的乘法则进行计算，将两个二项式中的每一项分别相乘，再把所得的积相加，合并同类项后得到(a^2 + 2ab + b^2)。
师：很好，除了这种方法，还有其他求扩大后菜地面积的方法吗？一般来说求一个几何图形的面积，有直接求法和间接求法两种。直接求法就是直接根据几何图形的面积公式求解，比如刚才我们利用正方形的面积公式表示出正方形的面积。而间接求法往往指的是利用割补法进行求解。现在我们尝试利用割补法求扩大后大正方形的面积。我们将大正方形按如图方式进行分割，能够观察到此时大正方形被分割成了原有的边长为(a)的小正方形、两个长为(a)、宽为(b)的长方形以及一个边长为(b)的小正方形。这时大正方形的面积是多少呢？
生：大正方形的面积等于边长为(a)的原来正方形面积加两个长为(a)，宽为(b)的长方形的面积，再加上边长为(b)的小正方形面积，即(a^2 + 2ab + b^2)。
师：非常棒。那如果我们将这个边长为(a)的正方形菜地边长减少(b)，变成一个小的正方形，又如何求减小后的菜地面积呢？
生：可以用直接求法，利用正方形的面积公式，减小后正方形菜地的边长是(a - b)，面积表示为((a - b)^2)，把它写成((a - b)×(a - b))，利用多项式与多项式的乘法法则进行展开，最后化简的结果是(a^2 - 2ab + b^2)。
师：那能不能再次尝试用割补法求减小后的小正方形面积呢？我们也按照刚才的方法将原正方形进行分割，这时如何表示减小后的小正方形的面积呢？
生：减小后的小正方形的面积，可以拿原来边长为(a)的大正方形面积减去图中两个长方形的面积，这两个长方形的长为(a)，宽为(b)，面积是(a×b)。但这样减去的话，会让边长为(b)的小正方形面积减了两次，所以还要再加上(b^2)。用式子表示就是((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)。
师：在刚才的两个问题当中，我们得到了这两个式子，左边属于特殊的多项式的乘法。这种特殊的多项式乘法在今后会经常遇到，所以我们把这两个式子作为公式直接使用，称作完全平方公式。在探究完全平方公式的过程中，我们先是利用多项式与多项式相乘的法则进行计算，然后再利用图形的面积进行解释验证，这体现了数形结合思想。那现在大家能否用文字语言来描述一下这两个公式呢？
生：两个数的和或者差的平方，等于这两个数的平方和再加上或减去这两个数乘积的二倍。
师：非常好。我们看到完全平方公式包含了和与差的两个公式，实际上这两个公式并不是相互孤立的，加法运算和减法运算是可以相互转化的。如果我们将公式((a - b)^2)左边转化为([a + (-b)]^2)，即将两数差的平方转化为两数和的平方，这时就可以用和的完全平方公式来计算，它的结果就等于(a)与(-b)的平方和加上(a)与(-b)乘积的二倍，同样计算出结果是(a^2 - 2ab + b^2)，这体现了数学当中的转化思想。
了解了完全平方公式，我们如何利用它解决此类问题呢？请看例题。利用完全平方公式计算。第一小题((2x + y)^2)。要想利用完全平方公式进行计算，我们需要了解在具体问题当中(a)、(b)代表的内容。((2x + y)^2)是两数和的平方，与公式中的((a + b)^2)做对比，这时可以把(2x)看成是公式中的(a)，(y)看作是公式中的(b)。代入公式右边，结果应该是多少呢？
生：结果应该是(2x)与(y)的平方和，再加上(2x)与(y)乘积的(2)倍，最后化简得到(4x^2 + 4xy + y^2)。
师：很好。第二题，((3m - 2n)^2)。明显看到它属于两数差的平方，与((a - b)^2)做对比，(3m)相当于(a)，(2n)相当于(b)。代入两数差的完全平方公式结果应该是什么呢？
生：结果应该等于(3m)与(2n)的平方和减去(3m)与(2n)乘积的(2)倍，最后化简结果是(9m^2 - 12mn + 4n^2)。
师：现在你会用完全平方公式来解决问题了吗？那请尝试解决下面这两道计算。第一题，(( - 2x + 3y)^2)对照公式，发现它们是两数和的平方，应该等于什么呢？
生：应该等于(-2x)与(3y)的平方和加上(-2x)与(3y)乘积的(2)倍，化简得到(4x^2 - 12xy + 9y^2)。
师：第2题，(( - x - \frac{y}{2})^2)。那么这道题符合完全平方公式中的哪一种结构呢？
生：可以把它看作是(-x)与(\frac{y}{2})的差的平方，所以符合两数差的完全平方公式。它的结果应该是(-x)与(\frac{y}{2})的平方和，再减去(-x)与(\frac{y}{2})乘积的(2)倍，最后等于(x^2 + xy + \frac{y^2}{4})。