师：同学们好，今天我们一起学习8.3节完全平方公式与平方差公式第三课时。前面大家已经学习了乘法公式，即完全平方公式和平方差公式。
对于完全平方公式，可用字母表示为：((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2)，((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2)，也就是两个数的和或差的平方，等于这两个数的平方和加或减这两个数乘积的2倍。
对于平方差公式，可用字母表示为：((a + b)(a - b) = a^2 - b^2)，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
下面我们使用上述公式来完成练习计算。
第一小题，((a + 3b)^2)。该题可直接使用完全平方公式，将其计算为(a^2 + 2×a×3b + (3b)^2)，化简为(a^2 + 6ab + 9b^2)。
请看第2小题，((2a + b)(b - 2a))。该式可变形为((b + 2a)(b - 2a))，符合平方差公式的特征，可运用平方差公式将其计算为(b^2 - (2a)^2)，化简为(b^2 - 4a^2)。
请看第3小题，((a - b)(b - a))。通过观察我们发现(b - a = - (a - b))，该题可变形为(- (a - b)(a - b) = - (a - b)^2)。对((a - b)^2)再应用完全平方公式，可计算为(- (a^2 - 2ab + b^2))，化简为(- a^2 + 2ab - b^2)。
相信这3小题肯定难不倒大家，今天我们将继续学习乘法公式的运用。请看例一计算第一小题，((a + b + c)^2)。由乘方的定义可得((a + b + c)^2 = (a + b + c)(a + b + c))，这是两个三项式的乘积。不难想到利用多项式乘以多项式的法则进行运算，可计算为(a^2 + ab + ac + ab + b^2 + bc + ac + bc + c^2)，化简为(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)。
该题除了利用多项式乘多项式的法则进行运算外，还有其他方法吗？我们通过观察不难发现这是三项和的平方，想到完全平方公式。当完全平方公式是两项和的平方，在这里我们可以把这三项中的任意两项看成是一个整体，如可将(a + b)看作一个整体，则该式就可变形为([(a + b) + c]^2)。将它与完全平方公式进行对比，完全平方公式中的字母(a)即为这里的多项式(a + b)，字母(b)即为这里的单项式(c)，符合完全平方公式的特征，可运用完全平方公式进行计算，得((a + b)^2 + 2(a + b)c + c^2)，进一步计算可得结果为(a^2 + 2ab + b^2 + 2ac + 2bc + c^2)，整理得结果同样为(a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ac)。
同样，对于该题，我们也可以将(b + c)或(a + c)作为一个整体，同学们可以课下自己尝试着去计算。
请看第2小题，((a - b)^3)。可能会有同学联想到前面学习的积的乘方公式((ab)^n = a^n b^n)，理所当然地认为该题的结果就应该是(a^3 - b^3)，该结果是否正确呢？如果在这里(a = 2)，(b = 1)，则((a - b)^3)可以写成((2 - 1)^3)，通过计算可得结果为(1)；而(a^3 - b^3)即(2^3 - 1^3 = 7)，很明显不相等。
因此在一般情况下，((a - b)^3)并不等于(a^3 - b^3)，那么((a - b)^3)该如何计算呢？由乘方的定义可得((a - b)^3 = (a - b)(a - b)(a - b))，而((a - b)(a - b) = (a - b)^2)，该式可变形为((a - b)^2(a - b))。对((a - b)^2)，我们可以运用完全平方公式进行进一步计算，可得结果为((a^2 - 2ab + b^2)(a - b))，这是多项式与多项式相乘。应用多项式乘多项式的法则，可计算结果为(a^3 - a^2b - 2a^2b + 2ab^2 + ab^2 - b^3)，化简为(a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3)。由该题的结果，我们可以进一步明确((a - b)^3)确实不等于(a^3 - b^3)。
下面请看例2计算第一小题，((a + b + 3)(a + b - 3))。这是两个三项式的乘积，很明显可以使用多项式乘多项式的法则进行运算，请同学们课下自己尝试计算。我们通过观察这两个三项式，发现(a + b)与(a + b)是相同的多项式，(3)和(-3)是互为相反数，我们可将(a + b)作为一个整体。该式可变形为([(a + b) + 3][(a + b) - 3])，将它与平方差公式进行对比，发现在平方差公式中的字母(a)即为这里的多项式(a + b)，字母(b)即为这里的数字(3)，符合平方差公式的特征，可运用平方差公式将其计算为((a + b)^2 - 3^2)。通过进一步计算，可得结果为(a^2 + 2ab + b^2 - 9)。
请看第2小题，((a + b - c)(a - b + c))，这也是两个三项式的乘积。我们通过观察发现(a)和(a)是相同项，(b - c)与(-b + c)是只有符号不同的两个多项式。我们可以将(b - c)看作一个整体，该式可变形为([a + (b - c)][a - (b - c)])，将它与平方差公式进行对比，发现平方差公式中的字母(a)即为这里的单项式(a)，字母(b)即为这里的多项式(b - c)，符合平方差公式的特征，可应用平方差公式将其计算为(a^2 - (b - c)^2)，通过进一步计算可得结果为(a^2 - (b^2 - 2bc + c^2))，化简为(a^2 - b^2 + 2bc - c^2)。
请看第3小题，((a + b - c)(a - b - c))，这同样也是两个三项式的乘积。通过观察我们可得到(a)和(a)是相同项，(-c)和(-c)也是相同项，(b)和(-b)是只有符号不同的两项。在这里将(a - c)看作一个整体，该式可变形为([(a - c) + b][(a - c) - b])，符合平方差公式的特征，可运用平方差公式将其计算为((a - c)^2 - b^2)。通过进一步计算可得结果为(a^2 - 2ac + c^2 - b^2)。