师：同学们好，今天这堂课我们共同来学习8.4节因式分解第三课时。首先，请同学们回忆一下前两节课所学习的内容。什么是因式分解呢？把一个多项式化为几个整式的积的形式，就叫做因式分解。那前面两节课中，大家学习过的因式分解常用方法有哪些呢？
生：提公因式法和公式法。
师：非常好。请同学们把下列几个多项式分解因式。第一个，仔细观察，我们会发现前后两项都含有字母x和y，x的最低次数为1，y的最低次数为2，所以可提取公因式xy2，分解为xy2(x2 - yz)。再来看第二个，前后系数分别为6和3，最大公因数为3，前面有因式x - y，后面有因式y - x，我们可以提取公因式3(x - y)，得到另外一个因式为2a - b。在提公因式法的过程中，我们重点看各项的系数，找相同字母，提取系数的最大公因数，取相同字母的最低次幂。
再来看看第三个。可以将这里的16y2看成是(4y)2，这两项符号相反，符合平方差公式的特征。我们可以将其写为x2 - (4y)2，直接运用平方差公式分解为(x + 4y)(x - 4y)。第四个，这里有三项，首项可以看成(4a)2，9b2可以看成(3b)2，中间项可以写成 - 2×4a×3b，符合完全平方公式的特征，我们可以将其写为(4a - 3b)2。
我们注意到，在运用公式法当中，如果多项式可以化为两个整式的平方差的形式，可选用平方差公式；而多项式可以写成两个整式的平方，加上或减去这两个整式的积的2倍，可选用完全平方公式。那同学们，我把第一个小问题稍作变化，你们来看看。例一，把下列多项式分解因式，第一个x3y - y3怎么办呢？这里前后两项都有字母x、y，我们可以提取公因式xy，得到xy(x2 - y2)，运用的是提取公因式法，这个因式分解完成了吗？
生：没有。
师：对，我们注意到括号里面x2 - y2是符合平方差的形式，还可以进一步分解。所以分解为xy(x + y)(x - y)，这一步运用了平方差公式，因式分解完成了。
再来看第二个，三项的系数的最大公因数为3，都含有字母a，我们可以提取公因式3a，得到3a(x2 + 8xy + 16y2)，这一步是提取公因式。观察框内的三项，我们不难发现它符合完全平方公式的形式，我们可以将其继续分解为3a(x + 4y)2，这里是用完全平方公式。在这个问题中，我们注意到，若多项式的各项有公因式，一般先提取公因式，而分解因式要求进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。我们一起来做两道小练习看一看。
3x3 - 12x，可以先提取公因式3x，留下x2 - 4，可以再进一步分解为(x + 2)(x - 2)，所以结果是3x(x + 2)(x - 2)。再来看第二个，先提取公因式ab，第一项还留下9a2b2，第二项剩下 - 1，我们可以把9a2b2看成是(3ab)2，括号内符合平方差公式的特征，所以进一步分解为ab(3ab + 1)(3ab - 1)。3. 可以考虑先提取公因式m，括号内为x2 - 8x + 16，直接用完全平方公式得到结果为m(x - 4)2，分解完成。
这三项，我们可以提取公因式 - a，再将余下的因式按照降幂来排列，括号内为a2 - 2a + 1，对括号内进一步运用完全平方公式，得到 - a(a - 1)2。那同学们再来看一看下面这两个多项式，可以先提取公因式吗？先来看第一个，前后两项没有公因式，但是我们注意到16y?可以看成是(4y2)2，x?看成是(x2)2，那么再把前后位置交换一下，具有平方差公式的特征，我们不妨可以将其先分解为(x2 + 4y2)(x2 - 4y2)，分解完成了吗？
生：没有。
师：先来看一看前面括号内的因式，x2 + 4y2已经不能继续分解，后面这个括号内为x2 - 4y2，还可以直接运用平方差公式分解为(x + 2y)(x - 2y)，所以最终结果为(x2 + 4y2)(x + 2y)(x - 2y)。这个问题我们连续两次运用平方差公式达到因式分解的目的。
再来看看第二个，共有三项，没有公因式可以直接提取。从形式上来看符合完全平方公式的特征，我们把x?看成(x2)2，所以我们可以直接运用完全平方公式得到(x2 - 4)2，底数为x2 - 4也没有完成分解，我们可以将底数用平方差公式再分解为(x + 2)(x - 2)，这里我们再继续把它写成(x + 2)2(x - 2)2。
对于问题二，我们先运用了完全平方公式，再进一步运用平方差公式达到因式分解的目的。在前一个问题中，我们已经总结过，若多项式的各项有公因式，则先提公因式。透过例2，我们发现，若各项没有公因式，我们可以尝试运用公式来分解。当然，这两个问题都提醒我们，分解因式要进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。那下面两个小练习，相信同学们能够快速而准确地做好。
先看第一个，256是16的平方，那我们可以先用平方差公式将其分解为(x2 + 16)(x2 - 16)，x2 + 16已不能再分解，x2 - 16可以进一步分解为(x + 4)(x - 4)。第二个符合完全平方公式的特征，不妨将其分解为(4a2 + 1)2，大家再来观察一下这里的底数，4a2 + 1已经不能再分解，所以这个因式分解到此完成。那同学们再来观察一下下面这两个示例，它们从形式上来看有什么样的特点呢？
第一个，直观上我们能感知到恰好符合平方差公式的特征，所以我们不妨将这里的2x + y，x + 2y分别看成一个整体，那直接运用平方差公式可以得到[(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) - (x + 2y)]，对于中括号内的这两个因式，我们还可以进一步去括号合并同类项，得到(3x + 3y)(x - y)。
仔细观察一下，第一个括号内两项都有系数3，我们可以将3提取出来，分解为3(x + y)(x - y)，完成因式分解。那么在这里面我们运用了整体的思想，先用平方差公式，再提取公因式，同学们要注意方法的灵活性。同学们可以再观察一下问题一，也有同学可能会想到，我们可以将这个式子(2x + y)2用完全平方公式展开，后面一项也是如此，那我们看一看化简后的式子吧。化简可以得到3x2 - 3y2，如果这样去整理的话，那我们可以接下来先提公因式3，再用平方差公式，最后结果也完全相同。