师：同学们好，今天这堂课我们共同来学习8.4节因式分解第四课时。在前面几节课中，我们已经学习过用提公因式法和公式法来进行因式分解。现在，请同学们回忆一下，能够直接运用提公因式法和公式法进行因式分解的多项式有什么特点呢？
对于提公因式法，该多项式的每一项都含有共同的因式；公式法中的平方差公式，若能适用，该多项式可化为两个整式的平方差的形式；若多项式可化为两个整式的平方和加上或减去这两个整式积的2倍，我们可考虑运用完全平方公式。
下面，请同学们运用这些方法，把下列多项式分解因式。
-3x2 + 6xy - 9xz 。系数可以提取公因式 -3，字母可以提取x ，可分解为 -3x(x - 2y + 3z)。
4a2 - b2 ，只有两项，符合平方差公式的特征，直接运用平方差公式可分解为(2a + b)(2a - b)。
9x2 + 6x + 1 ，有三项，符合完全平方公式的特征，可直接用完全平方公式分解为(3x + 1)2 。
接下来，同学们看看这个多项式，你能将它因式分解吗？这里有4项，这4项没有公因式可以提取，也无法直接运用平方差公式或完全平方公式，怎么办呢？我们回忆一下，在前面学习多项式与多项式的乘法时，可知这样一个多项式是由(a + b)(m + n)得到的。联系多项式与多项式乘法的知识，想一想，如何将该多项式分解为这两个因式的乘积呢？仔细观察，其中前两项都含字母m，后两项都含字母n ，那我们不妨将这个多项式先分组试试看。前两项可以提取因式m，后两项可以提取n 。再来观察，前后都出现了a + b，可以作为一个整体提取，得到(a + b)(m + n)，分解完成。通过这个过程，我们感受到因式分解有时需要先分组，后利用提取公因式或者运用公式进行分解。在这里面，我们也进一步体会到因式分解与整式乘法是互逆的过程。
在上述方法的启发下，我们看看下面这个问题该如何解决。
把x2 - y2 + ax + ay分解因式。不难看出，可以将一二两项分为一组，三四两项分为一组。对于前两项来说，它们具有平方差公式的典型特征，可以分解为(x + y)(x - y)；后两项则可以提取a变为a(x + y)。这里前后又出现了共同的因式x + y，提取公因式可以得到(x + y)(x - y + a)，完成因式分解。
对于a2 + 2ab + b2 - c2 ，我们注意到前三项符合完全平方公式的特征，再减去c2 ，不妨将前三项分为一组，减c2放在后面。这里的三项可以直接运用完全平方公式写为(a + b)2 ，减去后面的c2 。大家观察这样一个结果，又具备了平方差公式的特征，进一步运用平方差公式可以分解为(a + b + c)(a + b - c)。
同学们思考一下，如何进行分组呢？在分组时主要考虑能否提取公因式或直接运用公式。有了这样的方法，同学们动手做一下练习一。
把4a2 - b2 + 4a + 2b分解因式。一二连项可以归为一组，三四两项归入一组。把前两项运用平方差公式可以写为(2a + b)(2a - b)，后两项提取数字2变为2(2a - b)，前后再提取公因式2a - b，分解为(2a - b)(2a + b + 2)。
把x2 - 2xy + y2 - 1分解因式。可考虑前三项分为一组， -1留在后面。注意前三项符合完全平方公式，可写为(x - y)2 ，再减1，可以看成是减去12 ，又具备了平方差公式的特征，最后结果可分解为(x - y + 1)(x - y - 1)。
下面我再给大家写两个多项式。你们观察一下，前后一二这两个多项式，它们只有一项不同，其余三项完全相同。那么这里我们可以采用相同的分组方法来解决问题吗？
首先来看第一个，9x2 + 6x - y2 + 2y 。我把一二两项放在一起，三四两项放在一起试试看，一二两项可以提取3x变为3x(3x + 2)，后面两项可以提取 -y，变成 -y(y - 2)。接下来无法再进行因式分解了，看来这样的分组方法不可以。再来仔细观察，9x2 - y2可以运用平方差公式，6x + 2y可以提取2 。那我们把一三分为一组，二四分为一组试试看。对于前面这一组，9x2 - y2，我们可运用平方差公式分解为(3x + y)(3x - y)，后面提取2，得到2(3x + y)，这样分组有利于我们再进行下一步的因式分解，可以提取公因式3x + y，最后结果为(3x + y)(3x - y + 2)，完成因式分解。
所以如何分组很关键，那同学们来观察一下第二个多项式9x2 + 6x + 1 - y2 ，你还是把一三两项分为一组吗？那余下的6x + 1不利于我们下一步进行因式分解。再来看一看，9x2 + 6x + 1这三项符合完全平方公式的特征，不妨分为一组，减y2放在后面。对于括号内的三项，我们可以运用完全平方公式写为(3x + 1)2 - y2 。这时候再运用平方差公式可分解为(3x + 1 + y)(3x + 1 - y)，完成分解。
同学们注意到，虽然只有一项之差，它们的分组方法却不相同。所以分组方法要灵活地选择，目的是为了合理地提取公因式或用公式，我们还要考虑有利于下一步进行因式分解。
那我现在把一式再稍作改变，同学们来观察一下下面这道练习，9x2 - 1 - y2 + 2y 如何对这个多项式分解因式呢？仔细观察，我们发现9x2可看成(3x)2 ，后面三项 -y2 + 2y - 1，如果提取一个负号具备了完全平方公式的特征，所以我们采用了这样一个分组方法，把括号内的三项用完全平方公式写为(y - 1)2 。那现在就变成了9x2 - (y - 1)2 ，可运用平方差公式，把y - 1当成一个整体，分解为[(3x + (y - 1))][(3x - (y - 1))]。这里我们可以把小括号再进一步去掉，最后得到结果为(3x + y - 1)(3x - y + 1)。
好，那同学们再来观察一下例3中的这个多项式a3 + a2 - a - 1，你能想到几种不同的分组方法解决这个问题，我们先来共同看一下。
方法一，不妨直接将一二两项分为一组，三四两项分为一组，并提取负号在前面，这时候前两项可以进一步提取a2 ，a2(a + 1) - (a + 1)，前后都有a + 1，提取公因式得到(a + 1)(a2 - 1)。这里的因式分解我们完成了吗？注意到后面这个括号里面的a2 - 1，还可以进一步运用平方差公式进行分解为(a + 1)(a - 1)。所以最后的结果可写为(a + 1)2(a - 1)。